خودمونی!

همه چی!

خودمونی!

همه چی!

پاسکال

پاسکال


بلز پاسکال ریاضیدان، فیلسوف و فیزیکدان فرانسوی 19 ژوئن 1623 در کلرمون واقع در مرکز فرانسه – 19 اوت 1662 در پاریس، به دنیا آمد. کسی که او را «پاک ترین موجود جهان» نامیده اند. پدرش ریاست اداره مالیات کلرمون را به عهده داشت. خواهرش ژیلبرت زندگی نامة او را نوشت و خواهر دیگرش ژاکلین او را به صومعه کشانید تا خودش را وقف کلیسا کند و در واقع موجب مرگ او و بی بهره شدن جهان دانش از وجود یک نابغه شد. 

پدرش به خاطر تحصیل او، از کار خود استعفا کرد و خانواده را به پاریس آورد (1639) در بیست و پنج سالگی فعالیت های علمی خود را رها کرد و به دیر «ژان سنیست ها» رفت چرا که «ژان سن» معتقد بود «دانش یک شهود روانی است شبیه اشتهای جسمی» و این همان پاسکال است که زمانی به شوهر خواهرش نوشته بود :«... گمان نمی کنم ناچار باشیم اندیشه ها و حکم هایی را که از گذشته به ما رسیده است، بپذیریم، مگر آنکه استدلالی منطقی و بی تردید داشته باشند و به نظر من نهایت ضعف و نادانی است که به حقیقت های روشن ومسلم گردن ننهیم و به اندیشه های کهنة خود باور داشته باشیم.» 


فعالیتهای علمی



پاسکال در 12 سالگی بسیاری از قضیه های هندسه اقلیدسی را پیش خود اثبات کرد. در 16 سالگی قضیه ای از هندسه تصویری را کشف کرد (قضیه پاسکال)، در همان سال کتاب «مقاطع مخروطی» را نوشت. در سال 1640 نخستین ماشین حساب را ساخت، نظریه احتمال را بنیان گذاشت. به جز آن کشف هایی در «تعادل آب گون ها» ، «فشار هوا» و غیر آن دارد. او کارهای مهمی در هیدروستاتیک (که به همین سبب واحد فشار، پاسکال نامیده میشود) انجام داد و بحثهایش با فرما در مورد مساله دومره نظریه احتمال را بنا نهاد. 


مثلث پاسکال یا نمودار ضریب دو جمله ای، از آن او نبوداما وی آن را در محاسبه های احتمالش به کار برد. پاسکال در کار مربوط به یافتن مساحتهای اشکال منحنی الخط نیز شرکت داشت،کاری که منجر به حساب دیفرانسیل و انتگرال شد. 


در کلیسا وقتی در 1668 به درد دندان مبتلا شد، برای نجات از درد به ریاضیات پناه برد و در 8 روز کتابی درباره انتگرال ها و دیگر کشف های خودش نوشت (در سال 1659 رساله ای درباره محاسبات دیفرانسیلی نوشته بود).اوسرانجام در سال 1662 در گذشت. 

ک.م.م

کوچکترین مضرب مشترک: (ک.م.م) 
کوچکترین مضرب مشترک: 
می دانیم عدد صحیح c مضرب مشترک دو عدد صحیح a و b است هر گاه : a|c و b|c 
تعریف: عدد طبیعی m را کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح(ناصفر) a و b می گوییم هرگاه شرایط زیر برقرار باشد: 
1-  
2- 
به عبارت دیگر کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح عبارت است از عضو ابتدای مجموعه مضربهای مشترک آن دو عدد.

لازم به ذکر است که کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b را به صورت ک.م.م a و b نیز می خوانند و به صورت  نشان میدهیم.
توجه: مقدار  برای هر عدد صحیح a مخالف صفر وجود ندارد زیرا مضارب صفر خود صفر است پس مجموعه مضارب مثبت آن تهی است پس ک.م.م aو0 وجود ندارد.
قضیه: ک.م.م دو عدد صحیح ناصفر a و b حتما وجود دارد. 
برهان: می خواهیم نشان دهیم  حتما وجود دارد بنابراین مجموعه مضارب مشترک a و b یعنی S را در نظر میگیریم :  
ادعا می کنیم S ناتهی است چون: و چون به وضوح S زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی است بر طبق اصل خوشترتیبی می توان گفت S دارای عضو مینیمم است یعنی کوچکترین عضوی در S چون m وجود دارد که: 
1- 
2- 
و این بیانگر ان است که m کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b است و حتما وجود دارد.

مثال:  را بیابید: 

پاسخ: 
1- مجموعه مضارب مثبت 8=  
2- مجموعه مضارب مثبت 10= 
مشاهده می شود کوچکترین عضو مشترک از مجموعه مضارب مشترک 8 و 10 برایر 40 است پس. 
توجه: روش دیگری برای یافتن ک.م.م دو عدد وجود دارد که کاربردی تر است به این ترتیب که اگر a و b دو عدد طبیعی بزرگتر از یک باشند که:




تجزیه این دو عدد به عوامل اول باشد آنگاه ک.م.م این دو عدد برابر است با: 


که در آن:  
به عبارت ساده تر برای یافتن ک.م.م دو عدد از این روش ابتدا دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم سپس ک.م.م این دو عدد برابر است با حاصلضرب عوامل اول مشترک و غیر مشترک با بزرگترین توان. 
خواص: در اینجا به بیان برخی از خواص مهم ک.م.م می پردازیم و بعضی از آنها را نیز اثبات می کنیم: 

1- 
برهان: 
1- 
2- اگر c عضو اعداد طبیعی وجود داشته باشد که a|c و b|c آنگاه b||c| 
پس می توان گفت |b| ک.م.م a و b است.

2- 
3- 
4-
5-
برهان: 
فرض می کنیم: و نشان می دهیم  برابر ک.م.م دو عدد 
a و b است. پس باید نشان دهیم: 

1- 
برهان: 
 
 
لازم به توضیح است که a و b هردو بر d بخش پذیرند. 

2- 
برهان: 
 
حال طرفین را بر d تقسیم می کنیم: 
 
از طرفی: 
به این ترتیب:  
پس:  

به این ترتیب  برابر است با ک.م.م a و b پس: 


نتیجه: اگر a و b نسبت به هم اول باشند: 
نتیجه: می توان ثابت کرد که اگر a و b دو عدد طبیعی باشند واعدادی چون'a' ,b متباین نسبت به هم وجود دارند که:

حال اگر  اعداد طبیعی که  وجود دارند که  و در نتیجه:


این نتیجه بسیار کاربردی بوده و در حل بسیاری از مسایل کمک می کند. 
مثال: اگر برای دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم: آنگاه a و b را بیابید. 

پاسخ: بر طبق نتیجه فوق می دانیم اعداد متباین نسبت به هم  وجود دارند که:
 و 

پس:


چون:  بنابراین:  
در نتیجه: a=2,b=144 یا a=16,b=18 
توجه: برای دو عدد صحیح a و b ناصفر داریم: 
6- 
برهان: 
اگر  آنگاه  بنابراین: 


7-اگر a و b اعداد صحیحی با شند که  آنگاه برای هر n طبیعی:
برهان: 
اگر فرض کنیم  آنگاه می دانیم  بنابراین: 


8- برای هر a و b صحیح و مخالف صفر: 
برهان: 
 
 
بنا بر فرض:  
بنابراین نتیجه می شود:  و لذا a|b. به طریق مشابه b|a ، پس |b|=|a| 
حال فرض می کنیم که  و نشان می دهیم  
 

ب.م.م

قضیه اساسی حساب، از قضایای مهم در نظریه اعداد است که نشان می‌دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک‌های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقش دارند.
این قضیه به طور ساده بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به صورت حاصل ضربی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال عدد ۶۰ را می‌توان به صورت ۶۰ =۲ × ۲× ۳ × ۵ به حاصل ضرب عوامل اول نوشت.
اگر عدد n را به صورت n = p۱p۲p۳...pr به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد n به عوامل اول می‌گوییم. پس قضیه اساسی حساب بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک، قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف تظر از ترتیب عوامل یکتا است.
فهرست مندرجات [نمایش]
[ویرایش]قضیه اساسی حساب و برهان آن

باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده است، اما اولین اثبات کامل از آن توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است.
همچنین، با گسترش جبرمجرد و نظریه حلقه مفهومی مشابه در نظریه حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا(UFD) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که بروی قضیه آخر فرما کار می‌کرد معرفی شد. این نشان می‌دهد که اگر چه قضیه اساسی حساب در حلقه اعداد صحیح بدیهی جلوه می‌کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.
قضیه اساسی حساب
هر عدد صحیح n که 1± ≠ n، را می‌توان به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. بعلاوه، این نمایش به عوامل اول صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است.
برهان
برای اثبات کافی است قضیه را فقط برای اعداد طبیعی ثابت کنیم.
برهان قضیه شامل دو قسمت وجود و یکتایی است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصل ضربی از عوامل اول نوشت. این کار را مبتنی بر اصل استقراء روی  انجام می‌دهیم.
اگر n = 2 چون 2 خود عددی اول است پس حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n برقرار باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است و بنابر اصل استقراء ریاضی نتیجه می گیریم حکم برای هر عدد طبیعی درست است.
اگر n اول باشد در این صورت چیزی برای اثبات نمی‌ماند و حکم برقرار است. اگر n اول نباشد در این صورت اعداد صحیح a, b وجود دارند که n = ab و . چون a, b < n بنابر فرض استقراء a,b به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می‌شوند. پس a=p1p2p3...pr و b=q1q2q3...qs که در آن pi و qj ها اعداد اول و نه لزوماً متمایز هستند. بنابراین n = ab = p1p2...prq1q2...qs و لذا n نیز به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می‌شود.
حال نشان می‌دهیم این تجریه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. برای اثبات این مطلب فرض می‌کنیم n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک، دلخواه و از این پس ثابت باشد و n = p1p2p3...pr و n = q1q2q3...qs دو تجزیه n به عوامل اول باشند. نشان می‌دهیم r = s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری داریم p1=q1,p2=q2,...,pr=qs.
اثبات را به استقرا روی r انجام می‌دهیم. اگر r=1 وضوحاً حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم در مورد هر عدد کوچک‌تر از r درست باشد و نشان می‌دهیم حکم در مورد r نیز درست است.
چون pr | n و n=q1q2q3...qs پس pr حداقل یکی از qiها را عاد می کند، بی‌آنکه به کلیت مطلب خللی وارد شود می‌توان فرض کرد pr|qs(چرا که می‌توان اندیس گذاری را تجدید کرد و به صورت دلخواه نوشت) اما چون qs اول است و 1<pr(بنابر اول بودن) پس لزوماً باید داشته باشیم pr=qs. پس
p1p2p3...pr − 1 = q1q2q3...qs − 1
و بنابر فرض استقراء، r-1=s-1 و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:
p1 = q1,p2 = q2,...,pr − 1 = qs − 1
پس r=s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:
p1 = q1,p2 = q2,...,pr − 1 = qs − 1,pr = qs
[ویرایش]تجزیه استاندارد
در ابتدا مفهوم تجزیه به عوال اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیه اساسی حساب هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به حاصل ضرب اعداد اول قابل تجزیه است اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح n را به صورت  بنویسم که در آن piها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک n به عوامل اول می‌گوییم. به عنوان مثال .
[ویرایش]کاربرد

از قضیه اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیه یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد.
[ویرایش]یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد
فرض کنید n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشد و  تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد. همچنین فرض می‌کنیم (T(n معرف تعداد مقسوم علیه‌های عدد n باشد. تجزیه n به عوامل اول نشان می‌دهد که هر مقسوم علیه n باید به صورت  باشد که  وضوحاً برای هر i، مقدار βi را به αi + 1 طریق می‌توان انتخاب کرد(با احتساب مقدار صفر) و در هر حالت یک مقسوم علیه n حاصل می‌شود. این کار بنا بر اصل شمارش به:
(α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αr + 1)
طریق امکان پذیر است. پس (T(n تعداد مقسوم علیه‌های عدد n برابر است با:
T(n) = (α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αr + 1)
به عنوان مثال T(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30.
[ویرایش]یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد
تجزیه یک عدد به عوامل اول در مطالعه توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی n، مجموع قوای αام مقسوم علیه‌های n را با σα(n) نشان می‌دهیم که در آن α عددی حقیقی یا مختلط است. پس:
σα(n) =
d | n
که مجموع فوق روی مقسوم علیه‌های n است. حال اگر 0=α در این صورت عبارت فوق همان تعداد مقسوم علیه‌های n است که در قسمت قبل آن را بررسی کردیم. در حالت خاص دیگر اگر 1=α در این صورت:
σ1(n) = σ(n) = d
d | n
که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد n است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم n توانی از عدد اول p چون n=pa باشد. در این صورت مقسوم علیه‌های n عبارت‌اند از:
1,p,p2,...,pa − 1,pa
پس:

حال در حالتی کلی‌تر فرض می‌کنیم  تجزیه استاندارد n به عوال اول باشد. در این صورت هر مقسوم علیه n به صورت  خواهد بود که  پس:


پس:

در نتیجه:

پس دیدیم که چگونه می‌توان مجموع مقسوم علیه‌های عدد طبیعی n را محاسبه کرد و البته مطلب فوق از ضربی بودن تابع مقسوم علیهی نیز قابل استنتاج است.
[ویرایش]تعیین حاصل ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد
فرض کنید n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک باشد و
D = {d1,d2,...,dT(n)}
مجموعه همه مقسوم علیه‌های n باشد. بعلاوه حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را با (P(n نشان می‌دهیم. در این صورت برای هر di چون di|n پس عددی چون qi وجود دارد که n=diqi. اما چون qi|n پس qiها نیز یک مقسوم علیه‌های n و لذا اعضای D می‌باشند، پس:

پس

به این ترتیب حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را نیز محاسبه کردیم. به عنوان مثال 
[ویرایش]محاسبه ب.م.م و ک.م.م از راه تجزیه به عوامل اول
روش دیگری بجز روش الگوریتم اقلیدس برای تعیین بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک(ب.م.م) و کوچک‌ترین مضرب مشترک(ک.م.م) دو عدد از راه تجزیه آنها به عوامل اول وجود دارد که البته از آنجایی که تجزیه اعداد بزرگ پیچیده خواهد بود چندان روشی کارساز نخواهد بود.
فرض کنید a,b دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند و  و  تجزیه استاندار a,b به عوامل اول باشد. در این صورت اگر ب.م.م a,b را با (a,b) نشان دهیم داریم:

که در آن برای هر i داریم θi = min{αi,βi}.
به عبارت دیگر ب.م.م دو عدد a,b عبارت است از حاصل ضرب عوال اول مشترک آنها با کمترین توان.
همچنین اگر ک.م.م a,b را با [a,b] نشان دهیم داریم:

که در آن برای هر i، داریم θi = max{αi,βi}.

نقش هندسه در روانشناسی

شاید شما هم جزو افرادى هستید که در دوران تحصیل درس هندسه برایتان هیچ جذابیتى نداشته و احتمالاً از شنیدن نام آن بیزارید ولى چند لحظه این موضوع را فراموش کنید. بعد ساده ترین اشکال هندسى را به خاطر بیاورید؛ مربع، مستطیل، مثلث، دایره و منحنى. سپس خیلى سریع و بدون اینکه زیاد به مغزتان فشار بیاورید شکلى را انتخاب کنید که بیشتر از همه مى پسندید. در حقیقت یک تست روانشناسى پیش روى شما قرار دارد که با توجه به انتخابتان بسرعت نشان مى دهد شما در زندگى چه جور آدمى هستید و در چه مشاغلى احتمال موفقیتتان بیشتر است!


مربع
افرادى که شکل مربع را انتخاب مى کنند کسانى هستند که در یک محیط پایدار بیشترین احساس آرامش را دارند و مسیر کارهایشان کاملاً واضح است. چنین اشخاصى محافظه کارند و دوست دارند همه چیز مرتب و منظم باشد.
وظیفه شناس هستند و اگر کارى را به آنها محول کنید آنقدر روى آن وقت مى گذارند تا تمام شود، حتى اگر کارى تکرارى و طاقت فرسا باشد و مجبور شدند به تنهایى آن را انجام دهند.

مستطیل
اصولگرایى مشخصه بارز این افراد است. آنها نیز نظم و ترتیب را دوست دارند ولى آن را بیشتر از طریق سازماندهى هاى دقیق اجرا مى کنند.
این امر سبب مى شود که راه هاى مناسبى را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسى کنند. اگر وظیفه اى را به این اشخاص محول کنید ابتدا آن را به خوبى سازماندهى مى کنند تا اطمینان یابند که بطور اصولى اجرا خواهد شد.


مثلث
اشخاصى که شکل مثلث را انتخاب مى کنند هدف گرا هستند. آنها از برنامه ریزى قبل ازانجام کارها لذت مى برند و به طرح موضوعات و برنامه هاى بزرگ و بلند مدت تمایل نشان مى دهند، اما ممکن است جزئیات را فراموش کنند.
اگر کارى را برعهده آنها بگذارید ابتدا هدفى را براى آن تعیین و سپس با برنامه ریزى کار را آغاز مى کنند.


دایره
چنین افرادى اجتماعى و خوش صحبت هستند، هیچ لحن خشنى ندارند و امور را به وسیله صحبت کردن درباره آنها تحت کنترل خود در مى آورند. ارتباطات اولین اولویت انها در زندگى است.
مطمئن باشید که اگر وظیفه اى به آنها محول شود آنقدر درباره آن صحبت مى کنند تا هماهنگى لازم ایجاد شود.


منحنى
خلاقیت در این قبیل افراد موج مى زند و اغلب اوقات کارهاى جدید و متفاویت را ارائه مى دهند. نظم و ترتیب برایشان کسالت آور است و اگر تکلیف را براى آنها در نظر بگیرید ایده هاى خوب و مشخصى را براى آنها ابداع مى کنند.
به طور کلى افرادى که سه شکل اول یعنى مربع، مستطیل و مثلث را انتخاب مى کنند در جهت مسیر ویژه در حرکت هستند و کارها را به طور منطقى و اصولى انجام مى دهند ولى ممکن است خلاقیت کمى داشته باشند.
اما گزینش دایره و منحنى نشان دهنده خلاقیت و برون گرایى است. چنین افرادى به موقعیت هاى جدید وسایر افراد دسترسى پیدا مى کنند ولى چندان اصولگرا و قابل اعتماد نیستند.

کاربرد تست

این تست براى ارزیابى افراد نسبت به موقعیت شغلى شان کاربرد دارد و یا به منظور پى بردن به این نکته که اشخاص مختلف تا چه حد مى تواند با هم کارکنند. اگر شما بشدت علاقه مندید که یک کار خاص و اصولى را انجام دهید یک فرد مربع دوست مى تواند همکار خوبى برایتان باشد.
همچنین اینگونه افراد براى کار در دوایر حسابرسى هم کاملاً مناسبند.
اگر کارها نیاز به سازماندهى گروهى داشته باشد مثلث دوستان در پیشبرد فعالیت ها موفق خواهند بود. این افراد مى توانند مجرى خوبى باشند چون اهداف را مشخص و اطمینان مى یابند که دستیابى به آنها ممکن است.
براى هر نوع ارتباطات حضورى افرادى که دایره را انتخاب مى کنند، بهترین هستند. آنها مى توانند یک کارمند خوب، مسؤول پذیرش یا فردى باشند که به مشتریان خود خدمات مناسبى را ارائه مى دهند.
بالاخره افرادى که شکل مورد علاقه شان منحنى است همیشه ایده هاى تازه دارند و به طور مثال براى کار در شرکت هاى تبلیغاتى مناسبند.

مسابقه

   مسابقه                                                                                مسابقه                                     

               


         I     .nخودروی یکسان روی یک جاده ی دایره ای قرار دارند. آنها روی هم تنها بنزین کافی برای یک خودرو برای کامل کردن یک دور را دارند . نشان دهید که خودرویی وجود دارد که می تواند یک دور را با گرد آوری بنزین دیگر خودرو ها در طول مسیرش کامل کند .


    II.            هر جاده در منطقه دیباجی یک طرفه است . هر جفت منطقه با دقیقا"یک جاده مستقیم به هم وصل شده اند . نشان دهید منطقه ای وجود دارد که از هرمنطقه دیگر به صورت مستقیم یا  از راه حداکثر یک منطقه دیگر می توان به آن رسید .


  III.            در یک مسابقه ی ریاضی این مسا له به دانش آموزان داده شد :«به طرف راست عدد 1997 طوری چهار رقم اضافه کنید که عدد 8 رقمی حاصل بر عدد های 2،3،4،5،6،7،8،9و10  بخش پذیر باشد»این مساله چند جواب دارد ؟


 IV.            اگر c=cos4    ،      b=cos3  و   a=cos2  (زاویه ها بر حسب رادیان نوشته شده است ). عددهای c  ،  b ،  a    را به ترتیب صعودی مرتب کنید .


 

پاسخ سوالات زیر را با ذکر شماره آن در قسمت "نظر دهید " وبلاگ قرار دهید .

منشا هندسه

منشاء هندسه:
واژه " ژئومتری " از دو واژه یونانی: ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه گیری آمده است، هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سده پنجم قبل از میلاد) پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می دهد. ولی تمدن های کهن دیگر ( بابلی،هندی،چینی) هم اطلاعات هندسی زیادی داشته اند. هندسه پیشینیان در واقع گردآورده ای از روش های "قاعده سرانگشتی" بود که از راه آزمایش، بررسی شباهت ها، حدس ها و شهودهای اتفاقی دست یافتن به آنها میسر شده بود.
خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جواب های تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند.
بابلی ها 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش می گرفتند یعنی پی را مساوی 3 اختیار می کردند.
این همان مقداری است که ویتروویوس (Vitruvius) معمار رومی به آن داده بود و در نوشته های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستان این مقدار را مقدس می شمردند و می پنداشتند که کتاب مقدس آن را تثبیت کرده است و تلاش خاخام نهه میام (Nehemiah) برای تبدیل پی به 72/2 به نتیجه نرسیده بود.
مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند، مقدار تقریبی پی را چنین می گرفته اند:


پی ≈ (1.69)2 ≈ 3.1064


حدس های مصریان در پاره ای از موارد درست و در پاره ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجسته آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سویی دیگر چنین می پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهارضلعی نامشخص نیز می تواند صحیح باشد. هندسه مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی هیچ موجبی یا توجیهی بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته تر بودند وانگهی، قضیه فیثاغورس را خیلی پیش تر از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می دانستند.
ولی یونانیان و بیش از همه طالس اصرار می ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه راه آزمایش و خطا.
طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بایلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست نخستین هندسه منطقی را بنیاد نهاد ( طالس به سبب پیشگویی خورشید گرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است ). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملاً تازه بوده است. نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود مدت دو سده توسط فیثاغورس و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورس در او به دیده پیامبری دینی می نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک " جمعیت برادری" تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه ای خاص خود داشت و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود.
تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروه های مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت انگیز اعداد را تعلیم می داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی درباره نگره اعداد است در مکتب او آموخته می شد. زمانی که فیثاغورسیان طول های گنگ نظیر 2√ را کشف کردند به سختی یکه خوردند و در آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. از آنجایی که فیثاغورسیان 2√ را عدد نمی شمردند جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند2√ و طول های گنگ دیگر را به توس
ط پاره خط ( مثلاً 2√ را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پی ریزی منظم هندسه مسطحه توسط مکتب فیثاغورس را بقراط ریاضیدان ( با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سر و صورتی داد با اینکه این کتاب گم شده است می توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتاب های اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، در بر داشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگره تناسب هایی را که بر طول های گنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس (Eudoxus) که نگره اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون ( که در حدود 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد ) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می نویسد: " مطالعه ریاضیات دستگاه ذهنی را توسعه می دهد و به کار می اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است " افلاطون می آموخت که جهان اندیشه مهم تر از جهان مادی حواس است زیرا این جهان سایه جهان اولی است. جهان مادی غاری است نا روشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است می بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات بهتر میسر می شود. روش سقراطی محاوره اصولاً روش اثبات نامستقیم است که با آن نشان داده می شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات گنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (برهان خلف ) آورده است، نکته اینجاست که این گنگ بودن طول هرگز نمی توانسته از راه اندازه گیری های عینی که همیشه متضمن یک حاشیه کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بودکه در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه یونانی و نگره اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شاهکار اقلیدس ( Eudoxus ) تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده های جلوتر را گردهم آورد، تجارب فیثاغورسیان را در کتاب های اول تا چهارم و هفتم و نهم، نتایج کارهای آرکیتاس ( Archytas ) را در کتاب هشتم، کارهای ائودوکسوس را در کتاب های پنجم، ششم و دوازدهم و کارهای تئه تتوس ( Theaetetus ) را در کتاب های دهم و سیزدهم.

کتاب اقلیدس چنان با طور کامل جانشین کوشش های پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه ای از آن کوشش ها به جا ماند.
روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. روش بنداشتی که اقلیدس به کار برد الگویی است برای آنچه که ما امروز " ریاضیات محض " می نامیم. محض به معنی اندیشه محض است، هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود. اصول اقلیدس از این حیث هم محض است که متضمن هیچ کاربرد عملی نیست، البته هندسه اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره ای به آنها نشده است.


روش بنداشتی
ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راه های آزمایش و خطا، محاسبه حالات ویژه، حدس در نتیجه، الهام و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً دلیل های ناقص داده شده بود است. بنابراین دلیل ها به ما اطمینان می دهند که نتیجه ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلال ها نتایج کلیتری را عاید می کنند. مثلاً مصری ها و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3،4 و 5 باشد آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a , b و c از مثلثی چنان باشند که
a2+b2=c2 آنگاه مثلث قائم الزاویه است.
روش بنداشتی چیست ؟ اگر بخواهیم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم s1 را بپذیرید باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر s2 که شما قبلاً آن را پذیرفته اید نتیجه می شود ولی اگر شما s2 را قبول نداشته باشید من باید نشان دهم که s2 چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر s3 نتیجه می شود ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنیم تا به حکمی برسیم که شما آن را می پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست حکم اخیر نقش یک بنداشت (اصل موضوع ) را ایفا می کند . اگر نتوانیم به حکمی برسیم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید دچار تسلسل خواهم شد یعنی بایددلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.

پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم :
1) پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشد.
2) توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی به طور منطقی از حکم دیگر نتیجه می شود یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان اورا در بر داشتند.


اصطلاحات تعریف نشده
اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند، او خط مستقیم را چنین تعریف می کند " خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد. " این تعریف مفید فایده ای نیست زیرا که برای فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید. پس بهتر است خط را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم. همچنین اقلیدس نقطه را " چیزی که هیچ جزء ندارد " تعریف می کند که باز هم چندان روشن نیست. پس نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده می پذیریم. اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همه اصطلاحات هندسی دیگر در هندسه مسطحه اقلیدسی: نقطه، خط، قرار دارد بر( مثلاً در : دو نقطه فقط بر یک خط منحصر بفرد قرار دارند)، میان( مثلاً در: نقطه c میان نقاط A و B قرار دارد) و قابل انطباق.


اصول اقلیدس
هندسه اقلیدسی بر اساس پنج اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول – از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر کشید.
اصل دوم – هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم – می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم – همه زوایای قائمه با هم مساوی اند .
اصل پنجم – از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
تاریخچه اصل توازی :
در مدتی بیش از دو هزار سال بعضی از بهترین ریاضیدانان برای اثبات اصل پنجم اقلیدس تلاش کردند، یعنی لزومی ندارد که اصل توازی را به عنوان یک بنداشت بپذیریم باید بتوانیم آن را از روی بنداشت های دیگر ثابت کنیم. تا آنجا که می دانیم نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده از آن بطلمیوس بوده است. بطلمیوس آنچه را که می خواست ثابت کند قبول می کرد، یعنی استدلال او اصولاً به دور منجر می شد. پروکلوس نیز سعی کرد اصل توازی را ثابت کند تجزیه و تحلیلی که از برهان ناقص پروکلوس به عمل آمد نشان می دهد که تا چه اندازه باید مراقب طرز تفکر خود درباره خطوط موازی باشیم شاید شما خطوط موازی را مانند ریل های راه آهن تجسم می کنید که در همه جا فاصله شان از هم دیگر یکی است و بست های ریل ها بر هر دو موازی عموداند این تجسم تنها در هندسه اقلیدسی درست است بدون اصل توازی، تنها چیزی که می توانیم درباره دو خط که موازی هستند بگوییم این است که، مطابق تعریف توازی آنها نقطه مشترکی ندارندو نمی توانید فرض کنید که متساوی الفاصله اند، حتی نمی توانید فرض کنید که یک عمود مشترک دارند. بنابر قول معروف " وقتی واژه ای را به کار می برم معنای آن همان است که می خواهم باشد نه بیشتر و نه کمتر "
مهمترین تلاشی که بعداً برای اثبات اصل توازی به عمل آمده است از منجم و ریاضیدان خواجه نصیرالدین طوسی ( 1274-1201 ) است ولی چون در اثبات او چند فرض وجود دارد که درستی آنها ثابت نشده است آن را رها می کنیم و به جان والیس می پردازیم او بنداشت تازه ای که حس می کرد بیش از اصل توازی مقبول است طرح نمود سپس اصل توازی را از روی این بنداشت تازه و بنداشت های دیگر هندسه نتاری ثابت کرد. ساکری و لامبرت تلاش های دیگری برای اثبات اصل توازی به عمل آوردند. فکر ساکری این بود که از یک برهان خلف استفاده کند، اونقیض اصل توازی را فرض کرد و سپس کوشید تا تناقضی را از آن نتیجه بگیرد به ویژه بعضی از چهارضلعی ها را که زوایای مجاور به قاعده شان قائمه و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباق اند مورد مطالعه قرار داد این چهارضلعی ها بعدها به چهارضلعی های ساکری معروف شدند.

سه حالت ممکن است پیش بیاید:
1) زاویه های بالایی قائمه اند
2) زاویه های بالایی منفرجه اند
3) زاویه های بالایی حاده اند
برای اثبات حالت اول، یعنی همان حالتی که در هندسه اقلیدسی هست، ساکری کوشش کرد نشان دهد که دوحالت دیگر به تناقض منجر می شوند. او توانست نشان دهد که حالت دوم منجر به تناقض می شود ولی هر اندازه کوشش کرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را " فرض خصمانه زاویه حاده " نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد ولی تناقضی بدست نیاورد. با اینکه ساکری خود متوجه نشده بود، هندسه نااقلیدسی را کشف کرده بود.
با راهی مشابه راه مسئله توازی، یوهان هاینریش لامبرت چهار ضلعی هایی را که لااقل سه زاویه قائمه دارند مورد مطالعه قرار داد، که حالا به نام خود او معروف اند. لامبرت که بیشتر از ساکری به جلو رفته بود نشان داد که فرض زاویه حاده مستلزم این است که مساحت یک مثلث با کاستی آن متناسب باشد و می پنداشت این فرض به هندسه ای در روی " کره با شعاع انگاری" مربوط می شود.
تلاشهایی که برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود به اندازه ای زیاد بود که کلوگل (klugel ) در 1763 موفق شد رساله ای برای دکتری تهیه کند که در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید کند.
دائره المعارف نویس و ریاضیدان فرانسوی دالامبر این وضع را افتضاح هندسه نامیده بود حتی شصت سال پس از او در 1823 ریاضیدان بزرگ فرانسوی لژاندر خیال می کرد که برهان آن را پیدا کرده است. ریاضیدانان بتدریج نا امید می شدند.


کشف هندسه نااقلیدسی
جالب است که وقتی زمان برای ظهور اندیشه نوینی کاملاً مناسب است آن اندیشه در نزد چند کس کم و بیش پدیدار می شود. مثلاً کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال در سده هیجدهم به وسیله نیوتن در انگلستان و لایبنیتز در آلمان، و همچنین کشف هندسه نااقلیدسی در سده نوزدهم از این گونه رویدادها هستند.
یانوش بویوئی اکتشافات خود را به صورت یک ضمیمه 26 صفحه ای در کتاب تنتامن (Tentamen) در سال 1831 که به توسط پدرش نوشته شده بود منتشر کرد. پدر یک نسخه از این کتاب را با شوق فراوان برای دوست آلمانیش گاوس که بزرگترین ریاضیدان مسلم آن عصر بور فرستاد، گاوس استادانه نقص کار او را یافت و به او گوشزد کرد و پاسخ داد: " تمجید از کار شما به منزله تمجید از خودم است زیرا که تمام محتوای کاری را که پسر شما کرده راهی را که گزیده و نتایجی را که به آنها رسیده تقریباً به طور تمام و کمال با تحقیقات خود من که مدت سی تا سی و پنج سال تمام فکر مرا به خود مشغول داشته یکی است. از این بابت من خود را سخت شگفت زده می یابم. اما درباره کار خودم که تنها اندکی از آن تا کنون منتشر شده است قصدم این بوده که اجازه ندهم کسی از آن باخبر شود." گاوس با وجود شهرت عظیمش از علنی ساختن کشفیاتش در زمینه هندسه نااقلیدسی عملاً بیمناک بوده است.
در این نمایشنامه تاریخی بازیگر دیگری هم برای ربودن گوی شهرت از بویوئی و گاوس قد برافراشت ریاضیدان روسی نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی بود. وی نخستین کسی بود که عملاً مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر کرد( 1829) هنگامی که اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت بیشتنر به این علت که به زبان روسی نوشته شده بود و روسی هایی که آن را می خواندند سخت خرده گیری می کردند. در 1840 مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که مورد توجه گاوس قرار گرفت، گاوس آن را در نامه ای به شوماخر مورد ستایش قرار داد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تکرار کرد.
لوباچفسکی( Lobachevsky ) هندسه اش را در آغاز " هندسه انگاری " و بعد" هندسه عام " نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی که منتشر کرد به طور کامل بسط داد. متاسفانه لوباچفسکی در دوران حیات مورد تجلیل قرار نگرفت و تا وقتی که مکاتبات گاوس، پس از مرگ او در 1855 منتشر نشده بود جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. برخی از بهترین ریاضیدانان مانند بلترامی، کیلی، کلاین، پوانکاره و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن کردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات بویژه در نگره توابع همتافت ( Complex ) به کار بردند. در 1868 ریاضیدان ایتالیایی بلترامی، برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیر ممکن است او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسه اقلیدسی هندسه ای است سازگار اثبات نمود.


اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟
به زبان علمی، هر هندسه ای غیر از هندسه اقلیدسی را هندسه نااقلیدسی گوییم.
بسیاری از اینگونه هندسه ها تا کنون شناخته شده اند. هندسه ای که به توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی کشف شد هندسه هذلولوی نامیده می شود. هندسه هذلولوی بنابر تعریف، هندسه ای است که شما با قبول همه بنداشت های هندسه نتاری به دست می آورید و به جای اصل توازی هیلبرت نقیض آن را که بنداشت هذلولوی نامیده می شود می گذاریم.
بنداشت هذلولوی: در هندسه هذلولوی یک خط L و یک نقطه P غیر واقع بر L وجود دارند چنانکه دست کم دو خط موازی با L از نقطه P می گذرند.


هندسه فضای مادی چیست؟
هرگاه هندسه اقلیدسی سازگار باشد هندسه هذلولوی هم سازگار است بدین ترتیب هر دو هندسه به تساوی سازگارند. اکنون اگر بر اساسی منطقی صحبت کنید می توانید تضمین کنید که هندسه هذلولوی شایسته آن است که پا به پای هندسه اقلیدسی حرکت کند ولی ممکن است این احساس هم به شما دست داده باشد که هندسه هذلولوی اصلاً یک سرگرمی فکری است، در حالی که هندسه اقلیدسی دقیقاً معرف جهان طبیعی است که ما در آن زندگی می کنیم و در نتیجه اهمیت خیلی بیشتری دارد. اکنون این طرز دید را از نزدیک تر مورد مطالعه قرار می دهیم.
به طور قطع، مهندسی و معماری دو گواه صادق اند بر اینکه هندسه اقلیدسی در اندازه گیری معمولی، فاصله هایی که زیاد بزرگ نیستند بی اندازه مفید است ولی هنگامی که با فاصله های بزرگتر سروکار پیدا می کنیم قدرت نمایش هندسه اقلیدسی کمتر قطعیت دارد. مثلاً اگر از جنبه مادی، خط را به راهی که یک پرتو نورانی طی می کند تعبیر کنیم می توان مثلث های نجومی که از ستاره ها تشکیل می شوند را در نظر گرفت و زوایای این مثلث را اندازه بگیریم و تحقیق کنیم که آیا مجموع زوایای این مثلث &ring;180 هست یا نیست به سبب خطای تجربی هرگز یک آزمایش فیزیکی نمی تواند به طور قطع ثابت کند که فضا اقلیدسی است تنها می تواند اثبات نماید که فضا نااقلیدسی است.
بحث را ممکن است موشکافانه تر کنیم، باید به ماهیت ابزارهایمان پی ببریم. آیا طرح آنها بر اساس مفروضات اقلیدسی ریخته نشده است؟ باید در تعبیری که از خط می کنیم شک کنیم؟ آیا ممکن نیست که پرتوهای نور مسیری منحنی داشته باشند؟ باید تفحص کنیم که آیا فضا به ویژه فضای با ابعاد کیهانی را نمی توان با هندسه هایی جز این دو توصیف کرد؟
گرایش علمی کنونی طرح پرسش اخیر است. بر طبق عقیده اینیشتن، فضا زمان جدایی ناپذیرند و هندسه فضا-زمان متاثر از ماده است. به طوریکه پرتوهای نور بر اثر جاذبه ثقلی اجرام واقعاً خمیده شده اند. دیگر، فضا به صورت جعبه تهی نیوتنی تصور نمی شود که سنگهایی که درون آن گذاشته می شوند تاثیری بر کرانه های آن نداشته باشند. مسئله خیلی پیچپیده تر از آن است که اقلیدس یا لباچفسکی می پنداشتند هیچ یک از هندسه های آنان برای مفهومی که اکنون از فضا داریم کفایت نمی کند، این امر از ارزش تاریخی هندسه نااقلیدسی ما نمی کاهد. اینشتین می گوید:" من برای این تعبیر هندسه ارزش زیادی قائلم زیرا اگر با آن آشنا نبودم هرگز قادر به بسط نگره نسبیت نمی شدم. " اینک پاسخ معروف پوانکاره به این پرسش که کدام هندسه درست است :" اگر هندسه دانش تجربی بود نمی توانست دانشی دقیق باشد و پیوسته دستخوش تجدید نظر می بود، بنابراین بنداشت های هندسی نه شهودهای ترکیبی قبلی هستند و نه حقایق تجربی، بلکه قراردادی هستند. پس درباره این پرسش که آیا هندسه اقلیدسی درست است؟ پرسشی بی معنی است، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاس های قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست اند؟ هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسه دیگر باشد، تنها ممکن است مناسبتر باشد. "
ممکن است فکر کنید که هندسه اقلیدسی مناسب ترین هندسه است، باری مهندسی معمولی چنین است، ولی برای نگره نسبیت نه. از این گذشته، لوئنبرگ ( Luneburg ) مدعی است که فضای قابل رویت، فضایی که از راه چشم در مغز ما تعصویر می شود به وسیله هندسه هذلولوی توجیه پذیر است.


ریاضیات از چه سخن می گوید؟
بحث پیشین بر این موضوع که هندسه، و به طور کلی ریاضیات، از چه سخن می گوید پرتوی تازه می افکند. هندسه از پرتوهای نور صحبت نمی کند، ولی مسیر یک پرتو نور ممکن است تعبیری مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشده خط باشد. یک وقت برتراند راسل گفته بود که" ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه صحبت می کنیم و نه می دانیم که آنچه که گوییم راست است." سبب این است که برخی از اصطلاحات اولیه ازقبیل نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد، زیرا که دلیل های درست به شکل و نمودار بسته نیستند بلکه فقط به بنداشت هایی که وضع شده اند و به قواعد منطق، بستگی دارند.
بنابراین، هندسه تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی از نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازد به صورت" هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان می شود." و اساساً در آن صحبتی از معنی فرض ها یا راست بودن آنها نیست. مفاهیم اولیه از قبیل نقطه و خط که در فرض ها ظاهر می گردند به طور ضمنی به وسیله این بنداشتها که در حکم قواعد بازی هستند و انگار به ما می گویند چگونه باید بازی کرد، تعریف می شوند.
دیدگاه صورتگرایی که هم اکنون از آن یاد کردیم با عقیده کهن تری که ریاضیات را "حقیقت محض"
می پندارند و کشف هندسه نااقلیدسی بنای آن را به کلی فروریخته است، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشته است، چنانکه آنان اکنون خود را آزاد میبینند که هر مجموعه ای از بنداشت ها را که دلشان بخواهد ابداع کنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. اشتباه است که گفته شود ریاضیات درست بازیی است صوری که با نمادها صورت می گیرد و معنی وسیع تری ندارد. ریاضیدانان بنداشت ها را به دلخواه نمی سازند. هرگاه دستگاه های بنداشتی نتایج جالب توجه به بار نیاورند موردتوجه قرار نمی گیرند و سرانجام به دست فراموشی سپرده می شوند. رازی در ریاضیات هست که بیشتر از هر چیز آدمی را در فشار می گذارد. اگر ابداعات ریاضی صرفاً محصول تخیلات دلخواه ریاضیدانان باشد چطور می شود که برخی از آنها کاربردهای فیزیکی پیدا می کنند، مثل کاربردهایی که امکان می دهند مدارهای حرکت آنقدر دقیق حساب شوند که آدمی را بر ماه فرود آورند؟ هنگامی که یونانیان به بسط نگره بیضی ها می پرداختند هرگز تصور نمی کردند که این نگره روزی کاربردی برای "مسابقات فضایی" پیدا کند.
برگرفته از هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ

اصل پنجم اقلیدس

صل پنجم اقلیدس، پنچمین اصل از اصول موضوع در هندسه اقلیدسی که اصل توازی اقلیدسی نیز نامیده می‌شود.

اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسه‌یی را می‌گذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسهٔ موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آن‌گونه که اقلیدس بیان کرد این‌گونه است: اگر دو خط راست به‌وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچک‌تر از دوقائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌کنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان می‌شود: اگر دو خط به وسیلهٔ موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهٔ درجه‌های دو زاویهٔ درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، آنگاه این دو خط یک‌دیگر را در همان طرف مورب تلاقی می‌کنند. شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس می‌شود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارت است از: به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی است.

این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.

صورت‌بندی جدیدی از اصل پنجم، اصل هم‌ارزی نامیده می‌شود. در این صورت‌بندی اصل پنجم به این شکل بیان می‌شود که: از یک نقطه خارج یک خط فقط یک خط به موازات آن می‌توان کشید. از آن‌جا که نخستین بار جان پلی‌فیر این اصل پنجم را به این شکل صورت‌بندی کرد به اصل پلی‌فیر هم مشهور است.


 


جانشین‌های پیشنهادی
چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شده است:

حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویهٔ آن برابر با 180 درجه است.
دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.
دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصله‌اند.
بر هر سه نقطهٔ غیر واقع بر یک خط می‌توان دایره‌ای گذراند.
بر هر نقطهٔ داخل زاویه‌ای کمتر از 60 درجه می‌توان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند.

هندسه‌های دیگر
این اصل مناقشه برانگیزترین اصل از اصول پنج‌گانهٔ هندسهٔ اقلیدسی است. کنکاش برای طرح این اصل به عنوان قضیه و اثبات آن با توجه به چهار اصل ماقبلش منجر به ابداع اصل توازی جدیدی شد.

اصل توازی هذلولوی و اصل توازی ریمانی در سده‌های اخیر هندسه‌های جدیدی را به وجود آوردند که به هندسهٔ هذلولوی یا هندسهٔ لباچفسکئی و هندسهٔ ریمانی یا هندسهٔ بیضوی مشهورند.

هندسه مادر بزرگ تمامی علوم

همه شما حتی اگر از هندسه نیز چیزی ندانید بارها نام آن را شنیده اید. و حتماً می دانید که «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از ریاضیات است، همین سه عنوان در ریاضیات پایه گذار پیشرفت در تمام علوم محسوب می شوند.

شاید همین حس مسئولیتی که ریاضیات به تمام بخش های علوم دارد آن را بسیار جدی و در نظر بسیاری، علمی خشک و در عین حال سخت جلوه داده است. در این میان هندسه نقش بسیار مهمی را حتی در شاخه های ریاضی برعهده دارد. هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، خود پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است. زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت چشمگیری برای آنها نمی توان درنظر گرفت. با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم. یادم می آید زمانی که حوزه اطلاعاتم از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شد، معلم درس ریاضیات از ما خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم. در ابتدا حل این مسئله برایم نه تنها ساده بلکه بسیار مسخره آمد. اما هرچقدر تلاش کردم نتوانستم عددی برای ضلع سوم این مثلث بیابم! شما نیز می توانید امتحان کنید.سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر این (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود. بله این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.

عموم تحصیلکردگان با هندسه اقلیدسی آشنا هستند. زیرا دست کم در طول دوران تحصیل خود به اجبار هم که بوده در کتاب های درسی با این هندسه که اصول آن بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده اند. اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد. در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.

بالاخره در سال ۱۹۷۰، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال ۱۹۱۷، عنوان شده بود، شکست و «مندلبرات» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی  شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند.هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر تفسیر و شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف و قابلیت بی نظیر نشان داده است.با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان در زمینه بازگو کردن رفتار توابع و مجموعه های به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد. در این هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند. اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است. به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.

اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است. با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و...

همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند. اگر کمی حوصله به خرج دهید با چند شکل مهم در هندسه فرکتال ها آشنا خواهید شد، نظیر «مثلث سیر پینسکی» و «خم کخ».برای شروع، مثلث متساوی الاضلاعی را در نظر بگیرید. وسط اضلاع آن را به هم وصل کنید تا مثلث دیگری در دل آن ساخته شود. پس از آن در سه مثلث به وجود آمده در گوشه های مثلث بزرگ تر همین کار را تکرار کنید و به همین ترتیب تا به مثلث سیر پینسکی برسید.

و یا خم کخ که با سه قسمت کردن پاره خطی فرضی و حذف قسمت میانی آن و جایگزین کردن مثلثی متساوی الاضلاع در قسمت میانی و تکرار آن به وجود می آید.هندسه بدون اندازه کاربردهای فراوانی در علوم مختلف و به خصوص پزشکی دارد.

به وسیله آن می توان ساختار ابرها، کوه ها یا گسل های زمین را به راحتی توصیف و شبیه سازی کرد، درست همانگونه که یک معمار ساختار نقشه ساختمان خود را به طور دقیق شرح می دهد.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.

شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید!

نقش هندسه در روانشناسی

شاید شما هم جزو افرادى هستید که در دوران تحصیل درس هندسه برایتان هیچ جذابیتى نداشته و احتمالاً از شنیدن نام آن بیزارید ولى چند لحظه این موضوع را فراموش کنید. بعد ساده ترین اشکال هندسى را به خاطر بیاورید؛ مربع، مستطیل، مثلث، دایره و منحنى. سپس خیلى سریع و بدون اینکه زیاد به مغزتان فشار بیاورید شکلى را انتخاب کنید که بیشتر از همه مى پسندید. در حقیقت یک تست روانشناسى پیش روى شما قرار دارد که با توجه به انتخابتان بسرعت نشان مى دهد شما در زندگى چه جور آدمى هستید و در چه مشاغلى احتمال موفقیتتان بیشتر است!


مربع
افرادى که شکل مربع را انتخاب مى کنند کسانى هستند که در یک محیط پایدار بیشترین احساس آرامش را دارند و مسیر کارهایشان کاملاً واضح است. چنین اشخاصى محافظه کارند و دوست دارند همه چیز مرتب و منظم باشد.
وظیفه شناس هستند و اگر کارى را به آنها محول کنید آنقدر روى آن وقت مى گذارند تا تمام شود، حتى اگر کارى تکرارى و طاقت فرسا باشد و مجبور شدند به تنهایى آن را انجام دهند.

مستطیل
اصولگرایى مشخصه بارز این افراد است. آنها نیز نظم و ترتیب را دوست دارند ولى آن را بیشتر از طریق سازماندهى هاى دقیق اجرا مى کنند.
این امر سبب مى شود که راه هاى مناسبى را انتخاب و همه قواعد و مقررات را بررسى کنند. اگر وظیفه اى را به این اشخاص محول کنید ابتدا آن را به خوبى سازماندهى مى کنند تا اطمینان یابند که بطور اصولى اجرا خواهد شد.


مثلث
اشخاصى که شکل مثلث را انتخاب مى کنند هدف گرا هستند. آنها از برنامه ریزى قبل ازانجام کارها لذت مى برند و به طرح موضوعات و برنامه هاى بزرگ و بلند مدت تمایل نشان مى دهند، اما ممکن است جزئیات را فراموش کنند.
اگر کارى را برعهده آنها بگذارید ابتدا هدفى را براى آن تعیین و سپس با برنامه ریزى کار را آغاز مى کنند.


دایره
چنین افرادى اجتماعى و خوش صحبت هستند، هیچ لحن خشنى ندارند و امور را به وسیله صحبت کردن درباره آنها تحت کنترل خود در مى آورند. ارتباطات اولین اولویت انها در زندگى است.
مطمئن باشید که اگر وظیفه اى به آنها محول شود آنقدر درباره آن صحبت مى کنند تا هماهنگى لازم ایجاد شود.


منحنى
خلاقیت در این قبیل افراد موج مى زند و اغلب اوقات کارهاى جدید و متفاویت را ارائه مى دهند. نظم و ترتیب برایشان کسالت آور است و اگر تکلیف را براى آنها در نظر بگیرید ایده هاى خوب و مشخصى را براى آنها ابداع مى کنند.
به طور کلى افرادى که سه شکل اول یعنى مربع، مستطیل و مثلث را انتخاب مى کنند در جهت مسیر ویژه در حرکت هستند و کارها را به طور منطقى و اصولى انجام مى دهند ولى ممکن است خلاقیت کمى داشته باشند.
اما گزینش دایره و منحنى نشان دهنده خلاقیت و برون گرایى است. چنین افرادى به موقعیت هاى جدید وسایر افراد دسترسى پیدا مى کنند ولى چندان اصولگرا و قابل اعتماد نیستند.

کاربرد تست

این تست براى ارزیابى افراد نسبت به موقعیت شغلى شان کاربرد دارد و یا به منظور پى بردن به این نکته که اشخاص مختلف تا چه حد مى تواند با هم کارکنند. اگر شما بشدت علاقه مندید که یک کار خاص و اصولى را انجام دهید یک فرد مربع دوست مى تواند همکار خوبى برایتان باشد.
همچنین اینگونه افراد براى کار در دوایر حسابرسى هم کاملاً مناسبند.
اگر کارها نیاز به سازماندهى گروهى داشته باشد مثلث دوستان در پیشبرد فعالیت ها موفق خواهند بود. این افراد مى توانند مجرى خوبى باشند چون اهداف را مشخص و اطمینان مى یابند که دستیابى به آنها ممکن است.
براى هر نوع ارتباطات حضورى افرادى که دایره را انتخاب مى کنند، بهترین هستند. آنها مى توانند یک کارمند خوب، مسؤول پذیرش یا فردى باشند که به مشتریان خود خدمات مناسبى را ارائه مى دهند.
بالاخره افرادى که شکل مورد علاقه شان منحنى است همیشه ایده هاى تازه دارند و به طور مثال براى کار در شرکت هاى تبلیغاتى مناسبند.

غربال اراتوستنس



غربال اراتوستنس الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همه‌ی اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستنس را اراتوستنس، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

عدد اول(انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی(Natural number) است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد  است.


رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.


پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.


دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:


۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳،۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹ (دنباله‌ی A000040در OEIS


قضیه‌ها

قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:


فرض خلف : اعداد اول متناهی است.


اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.


P1,P2,P3,...,Pn


ضرب اعداد از Pi بزرگ‌تراست.