خودمونی!

همه چی!

خودمونی!

همه چی!

نیروی پتانسیل

نگاه اجمالی


انرژی به شکلهای مختلف پدیدار می‌شود. یکی از آنها انرژی پتانسیل یا انرژی ذخیره‌ای است. این شکل انرژی چه شباهتها یا چه تفاوتهایی با صورتهای دیگر انرژی دارد؟ چگونه می‌توانیم از آن بهره گیری کنیم؟ انرژی شیمیایی به انرژی هسته‌ای ، انرژیِ گرانشی ، انرژیِ الکتریسته ساکن و انرژی مغناطیسی ، نمونه‌هایی از انرژی پتانسیل هستند. انرژی پتانسیل می‌تواند برای ما اهمیت زیادی داشته باشد.


برای مثال ، هنگامی که تلویزیون روشن می‌کنیم و مأموریت رفت و برگشت سفینه‌ای فضایی را به تماشا می‌نشینیم، در واقع از انرژی الکتریکی استفاده می‌کنیم که از انرژی پتانسیل (مثلا انرژی پتانسیل گرانشی آب ذخیره شده در پشت سد) حاصل می‌شود. یا تبدیل انرژی پتانسیل شیمیایی موجود در سوخت موشکها به انرژی جنبشی است، که سفینه از سکوی پرتاب به فضا پرتاب می‌شود. باتریهای مورد استفاده از فلاش دوربینها یا در رادیوهای کوچک ، بنزین مصرفی برای راندن اتومبیلی و بالاخره ، غذایی که می‌خوریم همه و همه محتوی انرژی پتانسیل هستند. 

سیر تحولی و رشد


با توجه به نقش مهم انرژی پتانسیل در عرصه‌های دانش به فناوری زندگی روزانه ، ممکن است چنین تصور شود که از زمان تشخیص شناسایی این انرژیِِ مدتی طولانی گذشته است، اما اینطور نیست. مفهوم نیرو را که بستگی نزدیکی با انرژی پتانسیل دارد. اولین بار آیزااک نیوتن در قرن هفدهم مطرح کرد. ولی مفهوم انرژی یا پایستگی انرژی تا قرن نوزدهم مطرح نشد. مدتها قبل از آن ، در اواخر قرن هفدهم ، هویگنس در بحث حرکت ، به انرژی پتانسیل اشاره کرده بود؟ اما اصطلاح انرژی پتانسیل را بکار نبرده بود و اهمیت آن را نیز در نیافته بود. در اوایل قرن هیجدهم ژاک برنولی کار مجازی را که مشابه انرژی پتانسیل است توصیف کرده ، ولی به اهمیت آن پی نبرد.


در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم ، ژوزف لاگرانژ ، لاپلاس ، پواسون و جورج گرین مفهوم پتانسیل الکتریکی را (که به انرژی پتانسیل الکتریکی بسیار نزدیک است). در فرمول بندی ریاضی اثرات الکتریکی بکار بردند، اما آن هم به اهمیت انرژیِ پتانسیل پی نبرد. تمرکز این دانشمندان روی مباحث مکانیک و گرما بود. بحثهای بعدی تمام حوزه‌های علوم فیزیکی را در برگرفت. پس از این کارها بود که با تلاش بسیاری از مهندسان و دانشمندان توجه به اهمیت انرژی پتانسیل بیشتر و بیشتر شد. 

انرژی پتانسیل در کجا و چگونه ذخیره می‌شود؟


انرژی پتانسیل ، نوعی انرژی ذخیره شده است. انرژی پتانسیل ، اثری سیستمی است و برای جسمی کاملا منزوی وجود ندارد. جسم به اعتبار خود کمیت مکانی‌اش نسبت به سایر اجسامی که بر آن نیرو وارد می‌کنند و یا به دلیل موقعیت مکانی‌اش در میدانی که بر آن نیرو وارد می‌کنند، دارای انرژی پتانسیل است. هیچ جسم منفردی انرژی پتانسیل ندارد. همه اجسامی که برهمکنش متقابل دارند، بطور جمعی انرژی ذخیره می‌کنند.


توپی که روی میز است انرژی پتانسیل گرانشی دارد و این به گونه‌ای است توپ و زمین هر دو در ذخیره سازی این انرژی سهیم‌اند. این انرژی از آنجا ناشی می‌شود که زمین و توپ بر یکدیگر نیرو وارد می‌کنند. اگر توپ با زمین در مکان خود نبودند انرژی پتانسیل گرانشی نمی‌توانست وجود داشته باشد. در دور و میدان نیز انرژی پتانسیل از فضایی که میدان وجود دارد ذخیره می‌شود. 

ویژگیهای انرژی پتانسیل


در واقع ، این تغییرات انرژی پتانسیل است که در خور اهمیت است نه مقدار آن قبل یا بعد تغییر. اگر چه مکانی که در آن انرژی پتانسیل صفر می‌تواند انتخاب مفیدی باشد به مانند سطح دریا به عنوان مبنای صفر انرژی پتانسیل گرانشی زمین و یا سطح داخلی خازن استوانه‌ای به عنوان مبنای صفر انرژی الکتریکی ذخیره شده در آن ، اما این انتخابها هیچ یک الزامی نیست. زیرا آنها اختلاف انرژی پتانسیل بین مکانهای مختلف است که اهمیت دارد. اندازه اختلاف پتانسیل هرگز هیچ ربطی به چگونگی پیدا شدن آن ندارد. یعنی این تغییر مستقل از مسیر است. این یکی از ویژگیهای اساسی انرژی پتانسیل است.


تغییرات انرژی پتانسیل ممکن است به پیدایش انرژی جنبشی ، انرژی الکتریکی ، یا انرژی گرمایی منجر شود. فناوری نوین بر همین پایه استوار است، دستیابی به چنین تغییری به پایداری انرژی ذخیره شده بستگی دارد. برای انرژی پتانسیل سه نوع منحنی می‌توان در نظر گرفت: اگر چه این سخنها معرف همه حالتها نیستند، اما نشان می‌دهند که چگونه انرژی پتانسیل ممکن است با مکان تغییر کند.


می‌توان جسم کوچکی مثل گلوله‌ای مرمرین را روی یک کاسه وارونه (در حالت ناپایدار) ، درون کاسه (در حالت پایدار) یا در فرورفتگی کاسه وارونه‌ای که لبه دارد (در حالت شبه پایدار) در نظر گرفت. آنگاه کاسه نقش منحنی انرژی پتانسیل هسته‌ای را خواهد دانست.


در حالت پایدار تغییر نامحتمل است.


در حالت شبه پایدار غلبه بر سد پتانسیل (یعنی بالا رفتن از لبه) مستلزم انرژی اضافی است، مثلا این انرژی اضافی می‌تواند از جرقه‌ای که بخار بنزین را در سیلندرهای موتور خودرو مشتعل می‌کند ناشی می‌شود. در برخی موارد نادر هیچ انرژی اضافی لازم نیست. مثل وقتی که ذره‌ای در هسته اتم سد پتانسیل را طی فرآیندی به نام تونل زنی سوراخ می‌کند.

کاربرد حالتهای انرژی پتانسیل در صنعت


در فناوری نوین تعادل شبه پایدار ترجیح داده می‌شود. زیرا انرژی پتانسیل می‌تواند تا زمانی که ما بخواهیم در حالت تعلیق باقی بماند. که نمونه آن در روشن کردن رادیوی ترانزیستوری و تبدیل انرژی شیمیایی باتری به انرژی الکتریکی می‌توان نشان داد. 

تغییر انرژی پتانسیل


هر تغییر انرژی پتانسیلی به پیدایش نیرویی می‌انجامد. نیروی گرانشی ای که در حالت تعادل ناپایدار موجب می شود که گلوله روی سطح خارجی کاسه به پایین بلغزد. اندازه ی نیرو را از شیب سختی می‌سنجیم. هر چه این شیب تندتر باشد قویتر است. البته همه نیرو ، از تغییر انرژی پتانسیل ناشی نمی‌شوند. نیروهایی که این گونه‌اند. نظیر نیروی گرانشی و نیروی کولنی نیروی تابعی پایستاری ، داریم:



F = - du/dx و u = -∫F dx


که در آن F نیرو ، u انرژی پتانسیل و x مکان است.



نیروهایی که از تغییر انرژی پتانسیل ناشی نمی‌شوند، نظیر نیروی اصطکاک ، نیروهای ناپایستارند. برای چنین نیروهایی ، انرژی پتانسیل قابل تبیین نیست.

ک.م.م

کوچکترین مضرب مشترک: (ک.م.م) 
کوچکترین مضرب مشترک: 
می دانیم عدد صحیح c مضرب مشترک دو عدد صحیح a و b است هر گاه : a|c و b|c 
تعریف: عدد طبیعی m را کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح(ناصفر) a و b می گوییم هرگاه شرایط زیر برقرار باشد: 
1-  
2- 
به عبارت دیگر کوچکترین مضرب مشترک دو عدد صحیح عبارت است از عضو ابتدای مجموعه مضربهای مشترک آن دو عدد.

لازم به ذکر است که کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b را به صورت ک.م.م a و b نیز می خوانند و به صورت  نشان میدهیم.
توجه: مقدار  برای هر عدد صحیح a مخالف صفر وجود ندارد زیرا مضارب صفر خود صفر است پس مجموعه مضارب مثبت آن تهی است پس ک.م.م aو0 وجود ندارد.
قضیه: ک.م.م دو عدد صحیح ناصفر a و b حتما وجود دارد. 
برهان: می خواهیم نشان دهیم  حتما وجود دارد بنابراین مجموعه مضارب مشترک a و b یعنی S را در نظر میگیریم :  
ادعا می کنیم S ناتهی است چون: و چون به وضوح S زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی است بر طبق اصل خوشترتیبی می توان گفت S دارای عضو مینیمم است یعنی کوچکترین عضوی در S چون m وجود دارد که: 
1- 
2- 
و این بیانگر ان است که m کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b است و حتما وجود دارد.

مثال:  را بیابید: 

پاسخ: 
1- مجموعه مضارب مثبت 8=  
2- مجموعه مضارب مثبت 10= 
مشاهده می شود کوچکترین عضو مشترک از مجموعه مضارب مشترک 8 و 10 برایر 40 است پس. 
توجه: روش دیگری برای یافتن ک.م.م دو عدد وجود دارد که کاربردی تر است به این ترتیب که اگر a و b دو عدد طبیعی بزرگتر از یک باشند که:




تجزیه این دو عدد به عوامل اول باشد آنگاه ک.م.م این دو عدد برابر است با: 


که در آن:  
به عبارت ساده تر برای یافتن ک.م.م دو عدد از این روش ابتدا دو عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم سپس ک.م.م این دو عدد برابر است با حاصلضرب عوامل اول مشترک و غیر مشترک با بزرگترین توان. 
خواص: در اینجا به بیان برخی از خواص مهم ک.م.م می پردازیم و بعضی از آنها را نیز اثبات می کنیم: 

1- 
برهان: 
1- 
2- اگر c عضو اعداد طبیعی وجود داشته باشد که a|c و b|c آنگاه b||c| 
پس می توان گفت |b| ک.م.م a و b است.

2- 
3- 
4-
5-
برهان: 
فرض می کنیم: و نشان می دهیم  برابر ک.م.م دو عدد 
a و b است. پس باید نشان دهیم: 

1- 
برهان: 
 
 
لازم به توضیح است که a و b هردو بر d بخش پذیرند. 

2- 
برهان: 
 
حال طرفین را بر d تقسیم می کنیم: 
 
از طرفی: 
به این ترتیب:  
پس:  

به این ترتیب  برابر است با ک.م.م a و b پس: 


نتیجه: اگر a و b نسبت به هم اول باشند: 
نتیجه: می توان ثابت کرد که اگر a و b دو عدد طبیعی باشند واعدادی چون'a' ,b متباین نسبت به هم وجود دارند که:

حال اگر  اعداد طبیعی که  وجود دارند که  و در نتیجه:


این نتیجه بسیار کاربردی بوده و در حل بسیاری از مسایل کمک می کند. 
مثال: اگر برای دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم: آنگاه a و b را بیابید. 

پاسخ: بر طبق نتیجه فوق می دانیم اعداد متباین نسبت به هم  وجود دارند که:
 و 

پس:


چون:  بنابراین:  
در نتیجه: a=2,b=144 یا a=16,b=18 
توجه: برای دو عدد صحیح a و b ناصفر داریم: 
6- 
برهان: 
اگر  آنگاه  بنابراین: 


7-اگر a و b اعداد صحیحی با شند که  آنگاه برای هر n طبیعی:
برهان: 
اگر فرض کنیم  آنگاه می دانیم  بنابراین: 


8- برای هر a و b صحیح و مخالف صفر: 
برهان: 
 
 
بنا بر فرض:  
بنابراین نتیجه می شود:  و لذا a|b. به طریق مشابه b|a ، پس |b|=|a| 
حال فرض می کنیم که  و نشان می دهیم  
 

ب.م.م

قضیه اساسی حساب، از قضایای مهم در نظریه اعداد است که نشان می‌دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک‌های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقش دارند.
این قضیه به طور ساده بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به صورت حاصل ضربی از عوامل اول قابل نمایش هستند. همچنین این نمایش اعداد به صورت حاصل ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال عدد ۶۰ را می‌توان به صورت ۶۰ =۲ × ۲× ۳ × ۵ به حاصل ضرب عوامل اول نوشت.
اگر عدد n را به صورت n = p۱p۲p۳...pr به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد n به عوامل اول می‌گوییم. پس قضیه اساسی حساب بیان می‌کند هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک، قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف تظر از ترتیب عوامل یکتا است.
فهرست مندرجات [نمایش]
[ویرایش]قضیه اساسی حساب و برهان آن

باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساساً توسط اقلیدس به اثبات رسیده است، اما اولین اثبات کامل از آن توسط گاوس در کتاب تحقیقات حساب منتشر شده است.
همچنین، با گسترش جبرمجرد و نظریه حلقه مفهومی مشابه در نظریه حلقه به عنوان حوزه تجزیه یکتا(UFD) بوجود آمد که در آنها خاصیتی مشابه برقرار است که توسط کومر و زمانی که بروی قضیه آخر فرما کار می‌کرد معرفی شد. این نشان می‌دهد که اگر چه قضیه اساسی حساب در حلقه اعداد صحیح بدیهی جلوه می‌کند اما چنین چیزی در مورد هر حلقه دلخواه بدیهی نیست و ممکن است نادرست باشد.
قضیه اساسی حساب
هر عدد صحیح n که 1± ≠ n، را می‌توان به صورت حاصل ضرب عوامل اول نوشت. بعلاوه، این نمایش به عوامل اول صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است.
برهان
برای اثبات کافی است قضیه را فقط برای اعداد طبیعی ثابت کنیم.
برهان قضیه شامل دو قسمت وجود و یکتایی است. ابتدا نشان می‌دهیم هر عدد را می‌توان به صورت حاصل ضربی از عوامل اول نوشت. این کار را مبتنی بر اصل استقراء روی  انجام می‌دهیم.
اگر n = 2 چون 2 خود عددی اول است پس حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n برقرار باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است و بنابر اصل استقراء ریاضی نتیجه می گیریم حکم برای هر عدد طبیعی درست است.
اگر n اول باشد در این صورت چیزی برای اثبات نمی‌ماند و حکم برقرار است. اگر n اول نباشد در این صورت اعداد صحیح a, b وجود دارند که n = ab و . چون a, b < n بنابر فرض استقراء a,b به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می‌شوند. پس a=p1p2p3...pr و b=q1q2q3...qs که در آن pi و qj ها اعداد اول و نه لزوماً متمایز هستند. بنابراین n = ab = p1p2...prq1q2...qs و لذا n نیز به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می‌شود.
حال نشان می‌دهیم این تجریه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. برای اثبات این مطلب فرض می‌کنیم n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک، دلخواه و از این پس ثابت باشد و n = p1p2p3...pr و n = q1q2q3...qs دو تجزیه n به عوامل اول باشند. نشان می‌دهیم r = s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری داریم p1=q1,p2=q2,...,pr=qs.
اثبات را به استقرا روی r انجام می‌دهیم. اگر r=1 وضوحاً حکم برقرار است. فرض می‌کنیم حکم در مورد هر عدد کوچک‌تر از r درست باشد و نشان می‌دهیم حکم در مورد r نیز درست است.
چون pr | n و n=q1q2q3...qs پس pr حداقل یکی از qiها را عاد می کند، بی‌آنکه به کلیت مطلب خللی وارد شود می‌توان فرض کرد pr|qs(چرا که می‌توان اندیس گذاری را تجدید کرد و به صورت دلخواه نوشت) اما چون qs اول است و 1<pr(بنابر اول بودن) پس لزوماً باید داشته باشیم pr=qs. پس
p1p2p3...pr − 1 = q1q2q3...qs − 1
و بنابر فرض استقراء، r-1=s-1 و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:
p1 = q1,p2 = q2,...,pr − 1 = qs − 1
پس r=s و احیاناً با تجدید اندیس گذاری:
p1 = q1,p2 = q2,...,pr − 1 = qs − 1,pr = qs
[ویرایش]تجزیه استاندارد
در ابتدا مفهوم تجزیه به عوال اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیه اساسی حساب هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک به حاصل ضرب اعداد اول قابل تجزیه است اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح n را به صورت  بنویسم که در آن piها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک n به عوامل اول می‌گوییم. به عنوان مثال .
[ویرایش]کاربرد

از قضیه اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیه یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد.
[ویرایش]یافتن تعداد مقسوم علیه‌های یک عدد
فرض کنید n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشد و  تجزیه استاندارد n به عوامل اول باشد. همچنین فرض می‌کنیم (T(n معرف تعداد مقسوم علیه‌های عدد n باشد. تجزیه n به عوامل اول نشان می‌دهد که هر مقسوم علیه n باید به صورت  باشد که  وضوحاً برای هر i، مقدار βi را به αi + 1 طریق می‌توان انتخاب کرد(با احتساب مقدار صفر) و در هر حالت یک مقسوم علیه n حاصل می‌شود. این کار بنا بر اصل شمارش به:
(α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αr + 1)
طریق امکان پذیر است. پس (T(n تعداد مقسوم علیه‌های عدد n برابر است با:
T(n) = (α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αr + 1)
به عنوان مثال T(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30.
[ویرایش]یافتن مجموع مقسوم علیه‌های یک عدد
تجزیه یک عدد به عوامل اول در مطالعه توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی n، مجموع قوای αام مقسوم علیه‌های n را با σα(n) نشان می‌دهیم که در آن α عددی حقیقی یا مختلط است. پس:
σα(n) =
d | n
که مجموع فوق روی مقسوم علیه‌های n است. حال اگر 0=α در این صورت عبارت فوق همان تعداد مقسوم علیه‌های n است که در قسمت قبل آن را بررسی کردیم. در حالت خاص دیگر اگر 1=α در این صورت:
σ1(n) = σ(n) = d
d | n
که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد n است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم n توانی از عدد اول p چون n=pa باشد. در این صورت مقسوم علیه‌های n عبارت‌اند از:
1,p,p2,...,pa − 1,pa
پس:

حال در حالتی کلی‌تر فرض می‌کنیم  تجزیه استاندارد n به عوال اول باشد. در این صورت هر مقسوم علیه n به صورت  خواهد بود که  پس:


پس:

در نتیجه:

پس دیدیم که چگونه می‌توان مجموع مقسوم علیه‌های عدد طبیعی n را محاسبه کرد و البته مطلب فوق از ضربی بودن تابع مقسوم علیهی نیز قابل استنتاج است.
[ویرایش]تعیین حاصل ضرب مقسوم علیه‌های یک عدد
فرض کنید n عددی طبیعی بزرگ‌تر از یک باشد و
D = {d1,d2,...,dT(n)}
مجموعه همه مقسوم علیه‌های n باشد. بعلاوه حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را با (P(n نشان می‌دهیم. در این صورت برای هر di چون di|n پس عددی چون qi وجود دارد که n=diqi. اما چون qi|n پس qiها نیز یک مقسوم علیه‌های n و لذا اعضای D می‌باشند، پس:

پس

به این ترتیب حاصل ضرب مقسوم علیه‌های n را نیز محاسبه کردیم. به عنوان مثال 
[ویرایش]محاسبه ب.م.م و ک.م.م از راه تجزیه به عوامل اول
روش دیگری بجز روش الگوریتم اقلیدس برای تعیین بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک(ب.م.م) و کوچک‌ترین مضرب مشترک(ک.م.م) دو عدد از راه تجزیه آنها به عوامل اول وجود دارد که البته از آنجایی که تجزیه اعداد بزرگ پیچیده خواهد بود چندان روشی کارساز نخواهد بود.
فرض کنید a,b دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند و  و  تجزیه استاندار a,b به عوامل اول باشد. در این صورت اگر ب.م.م a,b را با (a,b) نشان دهیم داریم:

که در آن برای هر i داریم θi = min{αi,βi}.
به عبارت دیگر ب.م.م دو عدد a,b عبارت است از حاصل ضرب عوال اول مشترک آنها با کمترین توان.
همچنین اگر ک.م.م a,b را با [a,b] نشان دهیم داریم:

که در آن برای هر i، داریم θi = max{αi,βi}.

سقوط آزاد

دید کلی


هنگامی که جسمی از ارتفاعی رها شود، شتاب می‌گیرد و سرعتش از مقدار صفر افزایش مییابد. جالب توجه است که در خلا ، تمامی اجسام از قبیل سنگ ، پر ، قطرات باران و ذرات گرد و غبار بطور یکنواخت شتاب می‌گیرند و باهم به زمین می‌رسند. این قاعده صرفا به دلیل مقاومت هوا در مقابل سقوط اجسام ، که اثر آن بر «پر» مؤثرتر از اثر آن بر سنگ است، در زندگی روزمره که در محیط خلأ صورت نمی‌گیرد، صادق نیست. 

شتاب حرکت سقوط آزاد


شتاب سقوط آزاد اجسام در خلا به طبیعت جسم بستگی ندارد. بلکه فقط به محل جسم بستگی دارد. این شتاب ثابت است و مقدار آن با شتاب گرانشی که با علامت g نشان داده می‌شود، برابر است که آن هم تحت عنوان شتاب ثقلی مطرح است و مقدار آن بر روی زمین برابر 9.8m/s2 می‌باشد. 





سقوط آزاد چیست؟


برای اینکه سنگی آزادانه سقوط کند، لازم نیست که شما آنرا در امتداد قائم رها کنید. می توانید سنگ را به طرف بالا ، پایین یا به اطراف پرتاب کنید. به محض اینکه سنگ در هر جهتی اختیاری از دست شما رها شود، سقوط آزاد خواهد کرد. اگر سنگی را در امتداد قائم به طرف بالا با سرعت 25m/s پرتاب کنید ، چون شتاب به سمت پایین و در خلاف جهت سرعت است، سنگ بایستی در نقطه اوج حرکتش متوقف شده و برگردد. چون در حالت پایین آمدن شتاب در جهت حرکت است، سنگ سرعت می‌گیرد. اگر جسم در حال سکون ، خیلی سبک و یا سطح آن تخت باشد و یا اینکه از فاصله خیلی دور سقوط کرده باشد، مقاومت هوا قابل توجه می‌شود و شتاب جاذبه زمین در چنین حالتی متغیر می‌باشد. 

آزمایش ساده


فرض کنید شخصی در پشت بام خانه ایستاده و توپی را در راستای افق پرتاب می‌کند. توپ بدون هیچگونه سرعتی در راستای قائم ، از دست شخص رها می‌شود. اما ، نیروی گرانشی اجازه نمی‌دهد که این وضعیت ادامه یابد. توپ بعد از رها شدن از دست شخص رها می‌شود. اما ، نیروی گرانشی اجازه نمی‌دهد که این وضعیت ادامه یابد. توپ بعد از رها شدن از دست شخص با شتاب 9.8m/s2 به طرف پایین سرعت می‌گیرد و چون حرکت در امتداد قائم یک حرکت با شتاب یکنواخت است که از صفر شروع شده است، می‌توانیم از مجموعه معادلات استاندارد حرکت با شتاب ثابت استفاده کنیم. 

معادلات حرکت سقوط آزاد


معادله مکان حرکت سقوط آزاد جسم بر حسب زمان یک معادله سهمی شکل است که نقطه ماکزیمم (قله) سهمی در نقطه اوج جسم می‌باشد:


y = -gt2/2 + V0t


در این معادله Y مکان جسم ، t زمان ، g شتاب جاذبه زمین و V0 سرعت اولیه جسم می‌باشد.



معادله سرعت حرکت سقوط آزاد بر حسب زمان یک معادله خطی است که تا نقطه اوج شیب خط منفی و حرکت کند شونده و از آن زمان به بعد حرکت شتابدار تند شونده با شیب مثبت می‌باشد:


V = -gt + V0


در این معادله V سرعت حرکت جسم می‌باشد.



معادله شتاب حرکت سقوط آزاد جسم مستقل از زمان بوده و در نزدیکی سطح زمین مقداری ثابت است و مقدار آن با دقت بالایی با شتاب گرانشی بر روی سطح زمین برابر است. a = g = 9.8 m/s2


معادله نیرو در این حرکت همانند شتاب مستقل از زمان بوده و با نیروی وزن جسم برابر است:


F = ma = mg =9.8 m/s2




معادله مستقل از زمان حرکت سقوط آزاد : 

در این معادله سرعت اولیه و نهایی ، ارتفاع سقوط و شتاب جاذبه در غیاب زمان به هم مربوط می‌شوند:


V2 - V02 = -2gy


مسایل کاربردی سقوط آزاد


از این نوع حرکت و معادلاتش در توجیه حرکت جسم افتان ، پرتاب موشک ، حرکت پرتابی ، حرکت گلوله توپ ، صعود و فرود هواپیما ، حرکت نوسانی سیستم جرم و فنر آویزان و غیره که هر کدام یا خودشان کاربردهای علمی پدیده‌اند و یا مکانیزم عملشان این حرکت را در خود دارد و جهت کنترل و داشتن سیستمی پایدار با بازده بالا از مفاهیم و معادلات این حرکت در آنها استفاده می‌شود.

قوانین نیوتن

نیوتن با سه قانون معروف خود درباره حرکت پایه‌های مکانیک کلاسیک را طوری مستحکم کرد که هنوز هم با گذشت سالها این قوانین در زندگی روزمره بشر و در علوم مختلف کاربردهای فراوانی دارند. این قوانین در مورد حرکت و نیروهای دخیل در آن می‌باشد.


دید کلی


قانونهای نیوتن از جمله قانونهای اساسی و بنیادی در دانش فیزیک به شمار می‌روند. این قانونها ، کاربردهای گسترده‌ای در فناوری و غالب رشته‌های مهندسی دارند. در صنعت ، امور ساختمانی ، دریانوردی ، فضانوردی و ... اصول حاکم بر پدیده‌ها از قانونهای نیوتن پیروی می‌کنند. نیرو عامل تغییر حرکت در اجسام است و قانونهایی که رابطه میان نیرو و کمیتهای مربوطه به حرکت را بیان می‌کنند، قانونهای حرکت نامیده می‌شوند. حرکت یک ذره را ماهیت و آرایش اجسام دیگری که محیط ذره را تشکیل می‌دهند، مشخص می‌کند. قوانین نیوتن شامل سه قانون است. 

تاریخچه


مسأله حرکت یکی از موضوعات اصلی فلسفه طبیعی ، یا به اصطلاح امروز فیزیک می‌باشد. تا زمان گالیله و نیوتن پیشرفت چشمگیری در این زمینه حاصل نشد. نیوتن عقاید گالیله و سایر دانشمندان قبل از خود را کاملا به ثمر رسانید. سه قانون او درباره حرکت ، اولین بار در سال 1686/1065 در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی که معمولا به اصول معروف است، منتشر شد. این قوانین را در زیر مرور می‌کنیم. 

قانون اول نیوتن


قانون اول نیوتن در واقع بیانی است درباره چارچوبهای مرجع ، زیرا بطور کلی شتاب هر جسم بستگی به چارچوب مرجعی دارد که نسبت به آن اندازه گیری می‌شود. طبق قانون اول اگر هیچ جسمی در نزدیکی یک ذره وجود نداشته باشد، در آن صورت می‌توان یک دسته چارچوب مرجع پیدا کرد که این ذره نسبت به آنها شتاب نداشته باشد. اجسام در نبود نیرو ، ساکن هستند، یا حرکت خطی خود را حفظ می‌کنند.


غالبا با نسبت دادن خاصیتی به ماده که به لختی معروف است، این موارد توصیف می‌شوند. قانون اول نیوتن را غالبا قانون لختی می‌نامند و چارچوبهای مرجعی که این قانونها در آنها بکار می‌رود، چارچوبهای لخت نام دارند. این چارچوبها نسبت به ستاره‌های دور ثابت فرض می‌شوند. در قانون اول تفاوتی میان جسم ساکن و جسمی که با سرعت ثابت حرکت می‌کند، وجود ندارد. در ضمن میان نبودن نیرو و بودن نیروهایی که برآیندشان صفر است، تفاوتی وجود ندارد.



تعریف قانون اول نیوتن:هر جسم اگر در حال سکون ، یا در حالت حرکت یکنواخت در امتداد خط مستقیم باشد، به همان حال باقی می‌ماند، مگر آنکه در اثر نیروهای خارجی مجبور به تغییر آن حالت شود.





قانون دوم نیوتن


شتاب هر جسم معین یا نیروی وارد بر آن نسبت مستقیم دارد. اگر تمام نیروهای وارد بر جسم F باشد و m جرم جسم باشد و a شتاب برداری باشد، رابطه  بیان قانون دوم نیوتن است. قانون اول حرکت ، حالت خاصی از قانون دوم است، زیرا اگر  ، به عبارت دیگر اگر نیروی برآیند وارد بر جسم صفر باشد، شتاب آن برابر صفر است.



تعریف قانون دوم نیوتن :green:اگر به یک جسم نیروهایی وارد شود، شتابی می‌گیرد که با برآیند نیروهای وارد بر جسم ، نسبت مستقیم دارد و با آن هم جهت است ولی با جرم جسم نسبت وارون دارد.


violet:هر گاه جسمی به جسم دیگر نیرو وارد کند، جسم دوم به جسم اول نیرویی برابر آن ، ولی در خلاف جهت وارد می‌کند.~~





استفاده از قانونهای نیوتن درباره حرکت یک جسم


برای حل مسأله‌های دینامیک مراحل زیر را در نظر می‌گیریم:



شکل ساده‌ای از جسم و تکیه‌گاه آن را رسم می‌کنیم.


نیروهایی را که اجسام دیگر بر جسم وارد می‌کنند، روی شکل مشخص می‌کنیم.


دستگاه محورهای مختصات مناسبی انتخاب می‌کنیم.


نیروها را روی محورهای مختصات تجزیه می‌کنیم. (مؤلفه هر نیرو روی محور)


با نوشتن قانون دوم نیوتن روی هر یک از محورها ، شتاب حرکت جسم را روی هر محور محاسبه می‌کنیم.


هرگاه چند جسم به هم متصل باشند، در صورتی که بردار شتاب همگی یکسان باشد، مجموعه را می‌توان به عنوان یک دستگاه در نظر گرفت و قانون دوم را برای آن نوشت.

ایام فاطمیه

       


فرا رسیدن ایام فاطمیه را بر همه شیعیان جهان تسلیت عرض می نماییم

پیشاپیش روز معلم را به شما تبریک می گوییم   



خسرو پرویز

خسرو پرویز از طریق وستهم و وندوی دو نفر از بزرگان ایران پس از خلع هرمزد چهارم به پادشاهی رسید. خسروپرویز در این روزگار در آذرآبادگان بود و چون به شاهی رسید شتابان به تیسفون رفت و در سال ۵۹۰ م. تاج سلطنت به سر نهاد. چندی بعد هرمزد پدر او که پس از خلع از سلطنت کور شده بود به قتل رسید . بنابر رأی ثئوفیلاکوس این کار به امر خسرو پرویز واقع شد ولی بعضی می‌گویند خسرو رضایت ضمنی بقتل او داد.


در این ایام بهرام چوبین سردار معروف ایرانی که از مردم ری و پسر بهرام گشتسب و از دودمان بزرگ مهران بود پس از آن که در زمان هرمزد بر طوایف سرحدات شمال و مشرق بر ترکان فایق آمد به فرماندهی کل نیروی ایران در برابر رومیان منصوب شد لیکن در این جنگ او شکست خورد. هرمزد او را بطرز موهنی از فرماندهی خلع کرد. این فرمانده که بسیار قادر و در بین سربازان خود نهایت محبوبیت را داشت پس از خلع شدن آرام ننشست و چون خسرو پرویز بتخت نشست علم مخالفت برافراشت و به خسروپرویز شورید و از آنجا که او نیرومند بود و شاه ایران تازه بر تخت سلطنت نشسته بود خسرو را هزیمت کرد و خسرو به هزیمت به نزد امپراتور موریکیوس امپراتور روم رفت و نیز فاتحانه بپایتخت درآمد و تاج شاهی بر سر نهاد ولی دولت او مستعجل بود و مصادف با شورشها و مخالفت‌های روحانیان شد. گرچه یهود او را حمایت مالی می‌کردند و از حامیان خود می‌شمردند ولی وندوی که دستگیر و زندانی شده بود به‌وسیلهٔ چند تن از بزرگان از زندان رهایی یافت و پیشرو مخالفان وهرام شد. توطئه وندوی بجایی نرسید وهرام شورش را خاتمه داد و فرونشاند. وندوی به نزد برادر به آذربایجان رفت و نزد برادر خود وستهم که برای خسروپرویز علم برداشته بود مستقر شد و در این بین قیصر خسروپرویز را حمایت کرد بشرط آنکه شهرهای دارا و مایفرقط (میافارقین) را به روم واگذارد. خسروپرویز این پیشنهاد را قبول کرد و او خسروپرویز را با لشکری به ایران فرستاد و پس از جنگهای خونین که یک سوی آن وهرام با لشکریانش بود و سوی دیگر خسرو پرویز با لشکر رومی و اتباع ارمنی موشل و ایرانیانی که به او پیوسته بودند سرانجام وهرام را در گنزک آذربایجان منهزم کرد. وهرام به بلخ رفت و در آن جا بیاسود و چندی بعد به دستور خسروپرویز کشته شد. مؤبدان چندان از بازگشت خسرو راضی نبودند زیرا این پادشاه از روم این ارمغان را همراه داشت که نسبت به اوهام و خرافات نصاری میلی حاصل کرده بود و مؤبد او در این عقاید زنی عیسوی شیرین ‌نام بود که سوگلی حرم او بود. با وجود آنکه خسرو بر وهرام دست یافته بود ولی همیشه خطری که از جانب بزرگان او را تهدید می‌کرد برجای خود باقی بود و سرانجام وندوی و وستهم دو سرداری که بیاری او برخاسته بودند مورد خشم سلطان قرار گرفتند پس خسرو وندوی را هلاک کرد و وستهم به خراسان رفت و مدت ده سال در آن خطه بیاری افواج دیلمی و جنگجویان باقی مانده از لشکر وهرام سلطنت کرد و چنانکه سکه‌ها نشان می‌دهد وستهم دو تن از شاهان کوشانی بنام شاوگ و پریوگ را به فرمان خود درآورد. خسرو که خبر طغیان وستهم را شنیده بود ابتدا ترسید ولی براثر نصایح یکی از اسقفهای عیسوی سبهریشوع تشجیع شد و سرانجام وستهم را پس از جنگها و دسیسه‌ها از پای درآورد و بر اثر آن سبهریشوع را به پاداش این کمک بجای یشوع‌یبه که جهان را بدرود گفته بود بمقام جاثلیقی نصب کرد.


چند سالی نگذشته بود که موریکیوس امپراتور روم که بدست فوکاس کشته شده بود بهانه بدست خسروپرویز داد تا او جنگی را با روم آغاز کند. فوکاس[ به دست هرقل هراکلیوس خلع شد ولی جنگ بپایان نرسید. سرداران در جنگ با رومیها فتوحات نمایانی کردند و شهرهای الرها و انطاکیه و دمشق را تسخیر نمودند سپس اورشلیم را نیز گرفتند و صلیب مقدس را از آنجا به تیسفون فرستادند و عاقبت اسکندریه و بعضی از نواحی مصر که از زمان هخامنشیان از تصرف دولت ایران بدررفته بود بدست ایرانیان افتاد. در این تاریخ یعنی در ۶۱۵ م. قدرت و شوکت خسروپرویز به اوج تعالی رسید و در سرحدات نیز مهاجمات پادشاهی که نسبش به هفتالیان می‌پیوست و تابع خاقان ترک بود به پای‌مردی یکی از سرداران خسرو موسوم به سمبات باگراتونی ارمنی دفع شد و این پادشاه به خاک هلاکت افتاد. قسمتی از شمال غربی هندوستان نیز طوق اطاعت شاهنشاه ایران را بگردن نهادند و وجود سکه‌های خسرو در این نواحی شاهد این مدعا است.


بزرگ‌ترین سرداران لشکر ایران دو تن بودند یکی شاهین وهمن‌زادگان که سمت پادگوسپانی غرب داشت و دیگر فرخان که او را رومیزان هم می‌گفتند و او دارای لقب شهروراز (گراز کشور) بود. شاهین در آسیای صغیر فتوحات بسیار کرد و شهر کالسدون را در برابر قسطنطنیه بتصرف آورد. و پس از آن درگذشت، شاید هم به فرمان خسرو او را به هلاکت رسانیده اما شهروراز که بلاد عظیمه شامات و بیت‌المقدس را گرفته به محاصره قسطنطنیه همت گماشت ولی وسیله عبور از بسفورد و ورود به ساحل اروپایی را نداشت. عاقبت فراکلیوس موفق شد که از پیشرفت سپاه فاتح ایران جلوگیری کند و افواج شاهنشاه را پس راند و آسیای صغیر و ارمنستان را فتح نماید و به آذربایجان درآید و در ۶۲۳ م. شهر کنزگ را تسخیر و آتشکدهٔ بزرگ آذرگشتسب را ویران کند.


خسرو در موقع فرار از این شهر آتش مقدس را بهمراه برد و در سالهای بعد قوم خزر از نژاد ترک که در ظرف نیمه اخیر قرن ششم در قفقاز مسکن گزیده بودند دربند را بچنگ آورده با قیصر روم عقد مودت بستند قیصر در این وقت لشکر به بین‌النهرین کشید و در ۶۲۸ م. کاخ سلطنتی او در دستگرد به تصرف رومیان درآمد و تیسفون در خطر محاصره افتاد خسروپرویز پایتخت را ترک کرد و خود را به مأمنی کشید و چیزی نگذشت که در اثنای شورشی کشته شد.


خسروپرویز یکی از شاهان با اقتدار ساسانی است شهریاری بود که خود را چنین می‌خواند «انسانی جاویدان در میان خدایان و خدایی بسیار توانا در میان آدمیان، صاحب شهرت عظیم، شهریاری که با خورشید طالع می‌شود و دیدگان شب عطاکردهٔ اوست». خسروپرویز گنج شاهی بزرگ فراهم آورد و بنا بروایات تاریخ‌نویسان دربارهٔ گنجهای او: آنچه بسال ۱۸ سلطنت خود بگنج خود در تیسفون نقل کرد قریب ۴۶۸ میلیون مثقال زر بود و علاوه بر آن کثیری جواهر و جامه‌های گرانبها بر تخمینی که خسروپرویز پس از سقوط خود از مال و گنج خود زده دارایی او خیلی بیش از این میزان بوده‌است بعد از سیزده سال سلطنت در گنج او ۸۰۰ میلیون مثقال نقود جمع شده بود و چون پادشاهی او به سی سال رسید با وجود جنگهای طولانی و پرخرجی که کرد میزان نقود او به ۱۵۰ میلیون مثقال بالغ گردید افزایش ثروت او در سالهای اخیر بسبب وصول بقایای مالیاتی بود که بدون اندک ترحم و رعایتی از مردم می‌گرفت این پادشاه کینه‌توز و درون‌پوش و عاری از دلیری و شهامت بود، اما اگر چه آزمند بود ولی امساک نداشت و برای جلال خود از بذل مال به جهت تجمل دریغ نمیکرد چون غیبگویان به او گفته بودند که اقامت تیسفون بر او نامبارک است اقامتگاه او قلعهٔ دستگرد یا دستگرد خسرو بود که نویسندگان عرب آنرا الدسکره یا دستکرة‌الملک می‌خواندند و این محل در کنار شاهراه نظامی بود که از بغداد به همدان می‌رفت و در مسافت ۱۰۷ کیلومتر تقریباً از پایتخت به طرف شمال شرقی نزد شهر قدیم ارتمیه قرار داشت.


اسب خسروپرویز:بنام شبدیز است و در تاریخ و اشعار ایرانی به کرات از آن نام برده شده‌است و نیز «گنج بادآورده» از گنجهایی است که تاریخ‌نویسان ایرانی آن را به خسروپرویز نسبت می‌دهند. ظهور اسلام بعهد او بود و او مدت ۳۸ سال بر ایران حکم راند و سرانجام در (٣ آوریل ۶۲٨) به تائید پسرش شیرویه کشته شد.