منشا هندسه

منشاء هندسه:
واژه " ژئومتری " از دو واژه یونانی: ژئو، به معنی زمین، و متراین، به معنی اندازه گیری آمده است، هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سده پنجم قبل از میلاد) پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می دهد. ولی تمدن های کهن دیگر ( بابلی،هندی،چینی) هم اطلاعات هندسی زیادی داشته اند. هندسه پیشینیان در واقع گردآورده ای از روش های "قاعده سرانگشتی" بود که از راه آزمایش، بررسی شباهت ها، حدس ها و شهودهای اتفاقی دست یافتن به آنها میسر شده بود.
خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جواب های تقریبی آن معمولاً برای مقاصد عملی کافی بودند.
بابلی ها 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرش می گرفتند یعنی پی را مساوی 3 اختیار می کردند.
این همان مقداری است که ویتروویوس (Vitruvius) معمار رومی به آن داده بود و در نوشته های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستان این مقدار را مقدس می شمردند و می پنداشتند که کتاب مقدس آن را تثبیت کرده است و تلاش خاخام نهه میام (Nehemiah) برای تبدیل پی به 72/2 به نتیجه نرسیده بود.
مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند، مقدار تقریبی پی را چنین می گرفته اند:

پی ≈ (1.69)2 ≈ 3.1064

حدس های مصریان در پاره ای از موارد درست و در پاره ای دیگر نادرست بودند. یکی از کارهای برجسته آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سویی دیگر چنین می پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهارضلعی نامشخص نیز می تواند صحیح باشد. هندسه مصری به معنی یونانی کلمه علم نبود، بلکه صرفاً انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی هیچ موجبی یا توجیهی بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته تر بودند وانگهی، قضیه فیثاغورس را خیلی پیش تر از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می دانستند.
ولی یونانیان و بیش از همه طالس اصرار می ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه راه آزمایش و خطا.
طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بایلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست نخستین هندسه منطقی را بنیاد نهاد ( طالس به سبب پیشگویی خورشید گرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است ). استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملاً تازه بوده است. نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغاز شده بود مدت دو سده توسط فیثاغورس و شاگردانش ادامه یافت. معاصران فیثاغورس در او به دیده پیامبری دینی می نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک " جمعیت برادری" تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه ای خاص خود داشت و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراک اموال بود.
تمایز فیثاغورسیان از دیگر گروه های مذهبی در این بود که آنان اعتلای روح و یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت انگیز اعداد را تعلیم می داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی درباره نگره اعداد است در مکتب او آموخته می شد. زمانی که فیثاغورسیان طول های گنگ نظیر 2√ را کشف کردند به سختی یکه خوردند و در آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند. از آنجایی که فیثاغورسیان 2√ را عدد نمی شمردند جبر خود را به صورت هندسی درآوردند تا بتوانند2√ و طول های گنگ دیگر را به توس
ط پاره خط ( مثلاً 2√ را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.
پی ریزی منظم هندسه مسطحه توسط مکتب فیثاغورس را بقراط ریاضیدان ( با طبیبی به همین نام خلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب اصول سر و صورتی داد با اینکه این کتاب گم شده است می توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظم کتاب های اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، در بر داشته است. فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگره تناسب هایی را که بر طول های گنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعداً توسط ائودوکسوس (Eudoxus) که نگره اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون ( که در حدود 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد ) بود. افلاطون در کتاب جمهوری می نویسد: " مطالعه ریاضیات دستگاه ذهنی را توسعه می دهد و به کار می اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است " افلاطون می آموخت که جهان اندیشه مهم تر از جهان مادی حواس است زیرا این جهان سایه جهان اولی است. جهان مادی غاری است نا روشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است می بینیم. خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات بهتر میسر می شود. روش سقراطی محاوره اصولاً روش اثبات نامستقیم است که با آن نشان داده می شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون کراراً اثبات گنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (برهان خلف ) آورده است، نکته اینجاست که این گنگ بودن طول هرگز نمی توانسته از راه اندازه گیری های عینی که همیشه متضمن یک حاشیه کوچک تجربی خطاست، کشف شود.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بودکه در حدود 300 سال پیش از میلاد روش قاطع هندسه یونانی و نگره اعداد را در اصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شاهکار اقلیدس ( Eudoxus ) تجربه و کارهای مهم پیشینیان خود در سده های جلوتر را گردهم آورد، تجارب فیثاغورسیان را در کتاب های اول تا چهارم و هفتم و نهم، نتایج کارهای آرکیتاس ( Archytas ) را در کتاب هشتم، کارهای ائودوکسوس را در کتاب های پنجم، ششم و دوازدهم و کارهای تئه تتوس ( Theaetetus ) را در کتاب های دهم و سیزدهم.

کتاب اقلیدس چنان با طور کامل جانشین کوشش های پیشین در شناسانیدن هندسه شد که کمتر نشانه ای از آن کوشش ها به جا ماند.
روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعلیم این ماده مسلط بود. روش بنداشتی که اقلیدس به کار برد الگویی است برای آنچه که ما امروز " ریاضیات محض " می نامیم. محض به معنی اندیشه محض است، هیچ تجربه عینی برای تحقیق درستی احکام لازم نیست تنها باید مراقب استدلال در اثبات قضایا بود. اصول اقلیدس از این حیث هم محض است که متضمن هیچ کاربرد عملی نیست، البته هندسه اقلیدسی مورد استعمال بسیار در مسائل عملی مهندسی داشته است، ولی در اصول اشاره ای به آنها نشده است.

روش بنداشتی
ریاضیدانان برای کشف قضایا ممکن است از راه های آزمایش و خطا، محاسبه حالات ویژه، حدس در نتیجه، الهام و یا از هر راه دیگری استفاده کنند. روش بنداشتی روشی برای اثبات درستی نتایج است برای برخی از نتایج مهم در ریاضیات اساساً دلیل های ناقص داده شده بود است. بنابراین دلیل ها به ما اطمینان می دهند که نتیجه ها درست هستند. در بسیاری از موارد این استدلال ها نتایج کلیتری را عاید می کنند. مثلاً مصری ها و هندیان به تجربه دریافته بودند که هرگاه اضلاع مثلثی 3،4 و 5 باشد آن مثلث قائم الزاویه است. اما یونانیان ثابت کردند که اگر اضلاع a , b و c از مثلثی چنان باشند که
a2+b2=c2 آنگاه مثلث قائم الزاویه است.
روش بنداشتی چیست ؟ اگر بخواهیم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم که حکم s1 را بپذیرید باید بتوانم نشان دهم که این حکم چگونه به طور منطقی از حکم دیگر s2 که شما قبلاً آن را پذیرفته اید نتیجه می شود ولی اگر شما s2 را قبول نداشته باشید من باید نشان دهم که s2 چگونه به طور منطقی از یک حکم دیگر s3 نتیجه می شود ممکن است لازم شود این عمل را چند بار تکرار کنیم تا به حکمی برسیم که شما آن را می پذیرید و احتیاجی به اثبات آن نیست حکم اخیر نقش یک بنداشت (اصل موضوع ) را ایفا می کند . اگر نتوانیم به حکمی برسیم که شما به عنوان مبنای استدلال من بپذیرید دچار تسلسل خواهم شد یعنی بایددلیل پشت دلیل بیاورم بی آنکه پایانی داشته باشد.

پس باید دو شرط مسلم شوند تا درستی برهانی را بپذیریم :
1) پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشد.
2) توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی به طور منطقی از حکم دیگر نتیجه می شود یعنی توافق در برخی از قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دستچین کرد و از آنها 465 گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان اورا در بر داشتند.

اصطلاحات تعریف نشده
اقلیدس نهایت سعی خود را کرد که همه اصطلاحات هندسی را تعریف کند، او خط مستقیم را چنین تعریف می کند " خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که بر خود آن هستند قرار داشته باشد. " این تعریف مفید فایده ای نیست زیرا که برای فهمیدن آن شما باید قبلاً تصوری از خط داشته باشید. پس بهتر است خط را به عنوان اصطلاحی تعریف نشده بپذیریم. همچنین اقلیدس نقطه را " چیزی که هیچ جزء ندارد " تعریف می کند که باز هم چندان روشن نیست. پس نقطه را هم به عنوان اصطلاحی تعریف نشده می پذیریم. اینک پنج اصطلاح تعریف نشده که مبنایی است برای تعریف همه اصطلاحات هندسی دیگر در هندسه مسطحه اقلیدسی: نقطه، خط، قرار دارد بر( مثلاً در : دو نقطه فقط بر یک خط منحصر بفرد قرار دارند)، میان( مثلاً در: نقطه c میان نقاط A و B قرار دارد) و قابل انطباق.

اصول اقلیدس
هندسه اقلیدسی بر اساس پنج اصل موضوع زیر شکل گرفت:
اصل اول – از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر کشید.
اصل دوم – هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم – می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم – همه زوایای قائمه با هم مساوی اند .
اصل پنجم – از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.
تاریخچه اصل توازی :
در مدتی بیش از دو هزار سال بعضی از بهترین ریاضیدانان برای اثبات اصل پنجم اقلیدس تلاش کردند، یعنی لزومی ندارد که اصل توازی را به عنوان یک بنداشت بپذیریم باید بتوانیم آن را از روی بنداشت های دیگر ثابت کنیم. تا آنجا که می دانیم نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده از آن بطلمیوس بوده است. بطلمیوس آنچه را که می خواست ثابت کند قبول می کرد، یعنی استدلال او اصولاً به دور منجر می شد. پروکلوس نیز سعی کرد اصل توازی را ثابت کند تجزیه و تحلیلی که از برهان ناقص پروکلوس به عمل آمد نشان می دهد که تا چه اندازه باید مراقب طرز تفکر خود درباره خطوط موازی باشیم شاید شما خطوط موازی را مانند ریل های راه آهن تجسم می کنید که در همه جا فاصله شان از هم دیگر یکی است و بست های ریل ها بر هر دو موازی عموداند این تجسم تنها در هندسه اقلیدسی درست است بدون اصل توازی، تنها چیزی که می توانیم درباره دو خط که موازی هستند بگوییم این است که، مطابق تعریف توازی آنها نقطه مشترکی ندارندو نمی توانید فرض کنید که متساوی الفاصله اند، حتی نمی توانید فرض کنید که یک عمود مشترک دارند. بنابر قول معروف " وقتی واژه ای را به کار می برم معنای آن همان است که می خواهم باشد نه بیشتر و نه کمتر "
مهمترین تلاشی که بعداً برای اثبات اصل توازی به عمل آمده است از منجم و ریاضیدان خواجه نصیرالدین طوسی ( 1274-1201 ) است ولی چون در اثبات او چند فرض وجود دارد که درستی آنها ثابت نشده است آن را رها می کنیم و به جان والیس می پردازیم او بنداشت تازه ای که حس می کرد بیش از اصل توازی مقبول است طرح نمود سپس اصل توازی را از روی این بنداشت تازه و بنداشت های دیگر هندسه نتاری ثابت کرد. ساکری و لامبرت تلاش های دیگری برای اثبات اصل توازی به عمل آوردند. فکر ساکری این بود که از یک برهان خلف استفاده کند، اونقیض اصل توازی را فرض کرد و سپس کوشید تا تناقضی را از آن نتیجه بگیرد به ویژه بعضی از چهارضلعی ها را که زوایای مجاور به قاعده شان قائمه و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباق اند مورد مطالعه قرار داد این چهارضلعی ها بعدها به چهارضلعی های ساکری معروف شدند.

سه حالت ممکن است پیش بیاید:
1) زاویه های بالایی قائمه اند
2) زاویه های بالایی منفرجه اند
3) زاویه های بالایی حاده اند
برای اثبات حالت اول، یعنی همان حالتی که در هندسه اقلیدسی هست، ساکری کوشش کرد نشان دهد که دوحالت دیگر به تناقض منجر می شوند. او توانست نشان دهد که حالت دوم منجر به تناقض می شود ولی هر اندازه کوشش کرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را " فرض خصمانه زاویه حاده " نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد ولی تناقضی بدست نیاورد. با اینکه ساکری خود متوجه نشده بود، هندسه نااقلیدسی را کشف کرده بود.
با راهی مشابه راه مسئله توازی، یوهان هاینریش لامبرت چهار ضلعی هایی را که لااقل سه زاویه قائمه دارند مورد مطالعه قرار داد، که حالا به نام خود او معروف اند. لامبرت که بیشتر از ساکری به جلو رفته بود نشان داد که فرض زاویه حاده مستلزم این است که مساحت یک مثلث با کاستی آن متناسب باشد و می پنداشت این فرض به هندسه ای در روی " کره با شعاع انگاری" مربوط می شود.
تلاشهایی که برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود به اندازه ای زیاد بود که کلوگل (klugel ) در 1763 موفق شد رساله ای برای دکتری تهیه کند که در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید کند.
دائره المعارف نویس و ریاضیدان فرانسوی دالامبر این وضع را افتضاح هندسه نامیده بود حتی شصت سال پس از او در 1823 ریاضیدان بزرگ فرانسوی لژاندر خیال می کرد که برهان آن را پیدا کرده است. ریاضیدانان بتدریج نا امید می شدند.

کشف هندسه نااقلیدسی
جالب است که وقتی زمان برای ظهور اندیشه نوینی کاملاً مناسب است آن اندیشه در نزد چند کس کم و بیش پدیدار می شود. مثلاً کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال در سده هیجدهم به وسیله نیوتن در انگلستان و لایبنیتز در آلمان، و همچنین کشف هندسه نااقلیدسی در سده نوزدهم از این گونه رویدادها هستند.
یانوش بویوئی اکتشافات خود را به صورت یک ضمیمه 26 صفحه ای در کتاب تنتامن (Tentamen) در سال 1831 که به توسط پدرش نوشته شده بود منتشر کرد. پدر یک نسخه از این کتاب را با شوق فراوان برای دوست آلمانیش گاوس که بزرگترین ریاضیدان مسلم آن عصر بور فرستاد، گاوس استادانه نقص کار او را یافت و به او گوشزد کرد و پاسخ داد: " تمجید از کار شما به منزله تمجید از خودم است زیرا که تمام محتوای کاری را که پسر شما کرده راهی را که گزیده و نتایجی را که به آنها رسیده تقریباً به طور تمام و کمال با تحقیقات خود من که مدت سی تا سی و پنج سال تمام فکر مرا به خود مشغول داشته یکی است. از این بابت من خود را سخت شگفت زده می یابم. اما درباره کار خودم که تنها اندکی از آن تا کنون منتشر شده است قصدم این بوده که اجازه ندهم کسی از آن باخبر شود." گاوس با وجود شهرت عظیمش از علنی ساختن کشفیاتش در زمینه هندسه نااقلیدسی عملاً بیمناک بوده است.
در این نمایشنامه تاریخی بازیگر دیگری هم برای ربودن گوی شهرت از بویوئی و گاوس قد برافراشت ریاضیدان روسی نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی بود. وی نخستین کسی بود که عملاً مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر کرد( 1829) هنگامی که اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت بیشتنر به این علت که به زبان روسی نوشته شده بود و روسی هایی که آن را می خواندند سخت خرده گیری می کردند. در 1840 مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که مورد توجه گاوس قرار گرفت، گاوس آن را در نامه ای به شوماخر مورد ستایش قرار داد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تکرار کرد.
لوباچفسکی( Lobachevsky ) هندسه اش را در آغاز " هندسه انگاری " و بعد" هندسه عام " نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی که منتشر کرد به طور کامل بسط داد. متاسفانه لوباچفسکی در دوران حیات مورد تجلیل قرار نگرفت و تا وقتی که مکاتبات گاوس، پس از مرگ او در 1855 منتشر نشده بود جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. برخی از بهترین ریاضیدانان مانند بلترامی، کیلی، کلاین، پوانکاره و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن کردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات بویژه در نگره توابع همتافت ( Complex ) به کار بردند. در 1868 ریاضیدان ایتالیایی بلترامی، برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیر ممکن است او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسه اقلیدسی هندسه ای است سازگار اثبات نمود.

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟
به زبان علمی، هر هندسه ای غیر از هندسه اقلیدسی را هندسه نااقلیدسی گوییم.
بسیاری از اینگونه هندسه ها تا کنون شناخته شده اند. هندسه ای که به توسط گاوس، بویوئی و لوباچفسکی کشف شد هندسه هذلولوی نامیده می شود. هندسه هذلولوی بنابر تعریف، هندسه ای است که شما با قبول همه بنداشت های هندسه نتاری به دست می آورید و به جای اصل توازی هیلبرت نقیض آن را که بنداشت هذلولوی نامیده می شود می گذاریم.
بنداشت هذلولوی: در هندسه هذلولوی یک خط L و یک نقطه P غیر واقع بر L وجود دارند چنانکه دست کم دو خط موازی با L از نقطه P می گذرند.

هندسه فضای مادی چیست؟
هرگاه هندسه اقلیدسی سازگار باشد هندسه هذلولوی هم سازگار است بدین ترتیب هر دو هندسه به تساوی سازگارند. اکنون اگر بر اساسی منطقی صحبت کنید می توانید تضمین کنید که هندسه هذلولوی شایسته آن است که پا به پای هندسه اقلیدسی حرکت کند ولی ممکن است این احساس هم به شما دست داده باشد که هندسه هذلولوی اصلاً یک سرگرمی فکری است، در حالی که هندسه اقلیدسی دقیقاً معرف جهان طبیعی است که ما در آن زندگی می کنیم و در نتیجه اهمیت خیلی بیشتری دارد. اکنون این طرز دید را از نزدیک تر مورد مطالعه قرار می دهیم.
به طور قطع، مهندسی و معماری دو گواه صادق اند بر اینکه هندسه اقلیدسی در اندازه گیری معمولی، فاصله هایی که زیاد بزرگ نیستند بی اندازه مفید است ولی هنگامی که با فاصله های بزرگتر سروکار پیدا می کنیم قدرت نمایش هندسه اقلیدسی کمتر قطعیت دارد. مثلاً اگر از جنبه مادی، خط را به راهی که یک پرتو نورانی طی می کند تعبیر کنیم می توان مثلث های نجومی که از ستاره ها تشکیل می شوند را در نظر گرفت و زوایای این مثلث را اندازه بگیریم و تحقیق کنیم که آیا مجموع زوایای این مثلث ˚180 هست یا نیست به سبب خطای تجربی هرگز یک آزمایش فیزیکی نمی تواند به طور قطع ثابت کند که فضا اقلیدسی است تنها می تواند اثبات نماید که فضا نااقلیدسی است.
بحث را ممکن است موشکافانه تر کنیم، باید به ماهیت ابزارهایمان پی ببریم. آیا طرح آنها بر اساس مفروضات اقلیدسی ریخته نشده است؟ باید در تعبیری که از خط می کنیم شک کنیم؟ آیا ممکن نیست که پرتوهای نور مسیری منحنی داشته باشند؟ باید تفحص کنیم که آیا فضا به ویژه فضای با ابعاد کیهانی را نمی توان با هندسه هایی جز این دو توصیف کرد؟
گرایش علمی کنونی طرح پرسش اخیر است. بر طبق عقیده اینیشتن، فضا زمان جدایی ناپذیرند و هندسه فضا-زمان متاثر از ماده است. به طوریکه پرتوهای نور بر اثر جاذبه ثقلی اجرام واقعاً خمیده شده اند. دیگر، فضا به صورت جعبه تهی نیوتنی تصور نمی شود که سنگهایی که درون آن گذاشته می شوند تاثیری بر کرانه های آن نداشته باشند. مسئله خیلی پیچپیده تر از آن است که اقلیدس یا لباچفسکی می پنداشتند هیچ یک از هندسه های آنان برای مفهومی که اکنون از فضا داریم کفایت نمی کند، این امر از ارزش تاریخی هندسه نااقلیدسی ما نمی کاهد. اینشتین می گوید:" من برای این تعبیر هندسه ارزش زیادی قائلم زیرا اگر با آن آشنا نبودم هرگز قادر به بسط نگره نسبیت نمی شدم. " اینک پاسخ معروف پوانکاره به این پرسش که کدام هندسه درست است :" اگر هندسه دانش تجربی بود نمی توانست دانشی دقیق باشد و پیوسته دستخوش تجدید نظر می بود، بنابراین بنداشت های هندسی نه شهودهای ترکیبی قبلی هستند و نه حقایق تجربی، بلکه قراردادی هستند. پس درباره این پرسش که آیا هندسه اقلیدسی درست است؟ پرسشی بی معنی است، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاس های قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست اند؟ هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسه دیگر باشد، تنها ممکن است مناسبتر باشد. "
ممکن است فکر کنید که هندسه اقلیدسی مناسب ترین هندسه است، باری مهندسی معمولی چنین است، ولی برای نگره نسبیت نه. از این گذشته، لوئنبرگ ( Luneburg ) مدعی است که فضای قابل رویت، فضایی که از راه چشم در مغز ما تعصویر می شود به وسیله هندسه هذلولوی توجیه پذیر است.

ریاضیات از چه سخن می گوید؟
بحث پیشین بر این موضوع که هندسه، و به طور کلی ریاضیات، از چه سخن می گوید پرتوی تازه می افکند. هندسه از پرتوهای نور صحبت نمی کند، ولی مسیر یک پرتو نور ممکن است تعبیری مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشده خط باشد. یک وقت برتراند راسل گفته بود که" ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه صحبت می کنیم و نه می دانیم که آنچه که گوییم راست است." سبب این است که برخی از اصطلاحات اولیه ازقبیل نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد، زیرا که دلیل های درست به شکل و نمودار بسته نیستند بلکه فقط به بنداشت هایی که وضع شده اند و به قواعد منطق، بستگی دارند.
بنابراین، هندسه تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی از نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازد به صورت" هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان می شود." و اساساً در آن صحبتی از معنی فرض ها یا راست بودن آنها نیست. مفاهیم اولیه از قبیل نقطه و خط که در فرض ها ظاهر می گردند به طور ضمنی به وسیله این بنداشتها که در حکم قواعد بازی هستند و انگار به ما می گویند چگونه باید بازی کرد، تعریف می شوند.
دیدگاه صورتگرایی که هم اکنون از آن یاد کردیم با عقیده کهن تری که ریاضیات را "حقیقت محض"
می پندارند و کشف هندسه نااقلیدسی بنای آن را به کلی فروریخته است، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشته است، چنانکه آنان اکنون خود را آزاد میبینند که هر مجموعه ای از بنداشت ها را که دلشان بخواهد ابداع کنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. اشتباه است که گفته شود ریاضیات درست بازیی است صوری که با نمادها صورت می گیرد و معنی وسیع تری ندارد. ریاضیدانان بنداشت ها را به دلخواه نمی سازند. هرگاه دستگاه های بنداشتی نتایج جالب توجه به بار نیاورند موردتوجه قرار نمی گیرند و سرانجام به دست فراموشی سپرده می شوند. رازی در ریاضیات هست که بیشتر از هر چیز آدمی را در فشار می گذارد. اگر ابداعات ریاضی صرفاً محصول تخیلات دلخواه ریاضیدانان باشد چطور می شود که برخی از آنها کاربردهای فیزیکی پیدا می کنند، مثل کاربردهایی که امکان می دهند مدارهای حرکت آنقدر دقیق حساب شوند که آدمی را بر ماه فرود آورند؟ هنگامی که یونانیان به بسط نگره بیضی ها می پرداختند هرگز تصور نمی کردند که این نگره روزی کاربردی برای "مسابقات فضایی" پیدا کند.
برگرفته از هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ