اصل پنجم اقلیدس
صل پنجم اقلیدس، پنچمین اصل از اصول موضوع در هندسه اقلیدسی که اصل توازی اقلیدسی نیز نامیده می‌شود.
اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسه‌یی را می‌گذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسهٔ موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند. اصل پنجم آن‌گونه که اقلیدس بیان کرد اینگونه است: اگر دو خط راست به‌وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچک‌تر از دوقائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌کنند. این اصل در شکل امروزی آن اینگونه بیان می‌شود: اگر دو خط به وسیلهٔ موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهٔ درجه‌های دو زاویهٔ درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، آنگاه این دو خط یک‌دیگر را در همان طرف مورب تلاقی می‌کنند. شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس می‌شود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور است عبارت است از: به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر آن تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی است.
این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.
صورت‌بندی جدیدی از اصل پنجم، اصل هم‌ارزی نامیده می‌شود. در این صورت‌بندی اصل پنجم به این شکل بیان می‌شود که: از یک نقطه خارج یک خط فقط یک خط به موازات آن می‌توان کشید. از آن‌جا که نخستین بار جان پلی‌فیر این اصل پنجم را به این شکل صورت‌بندی کرد به اصل پلی‌فیر هم مشهور است.
جانشین‌های پیشنهادی
چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شده است:
حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویهٔ آن برابر با 180 درجه است.
دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.
دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصله‌اند.
بر هر سه نقطهٔ غیر واقع بر یک خط می‌توان دایره‌ای گذراند.
بر هر نقطهٔ داخل زاویه‌ای کمتر از 60 درجه می‌توان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند.
هندسه‌های دیگر
این اصل مناقشه برانگیزترین اصل از اصول پنج‌گانهٔ هندسهٔ اقلیدسی است. کنکاش برای طرح این اصل به عنوان قضیه و اثبات آن با توجه به چهار اصل ماقبلش منجر به ابداع اصل توازی جدیدی شد.
اصل توازی هذلولوی و اصل توازی ریمانی در سده‌های اخیر هندسه‌های جدیدی را به وجود آوردند که به هندسهٔ هذلولوی یا هندسهٔ لباچفسکئی و هندسهٔ ریمانی یا هندسهٔ بیضوی مشهورند.
